Номер 89, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

89. Участок имел форму квадрата. Изгородь вокруг него была снесена. Остались только два столба на двух параллельных его сторонах. Как восстановить границы участка, если шестом отмечен центр его симметрии? Всегда ли это возможно сделать?

Как восстановить границы участка

Для восстановления границ участка, имевшего форму квадрата, по двум столбам на параллельных сторонах и центру симметрии, необходимо выполнить следующие геометрические построения. Обозначим положения столбов как точки $A$ и $B$, а центр симметрии, отмеченный шестом, — как точку $O$.

1. Постройте точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно центра $O$. Точка $O$ должна быть серединой отрезка $AA'$.

2. Аналогично постройте точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно центра $O$.

3. Проведите прямую $L_1$ через точки $A$ и $B'$. Эта прямая содержит одну из сторон квадрата.

4. Проведите прямую $L_2$ через точки $B$ и $A'$. Эта прямая содержит противоположную, параллельную первой, сторону квадрата.

5. Теперь необходимо найти две другие стороны, которые перпендикулярны найденным. Для этого поверните прямую $L_1$ на угол $90^\circ$ вокруг центра $O$. Полученная прямая $L_3$ будет содержать третью сторону квадрата. Чтобы выполнить это построение, можно взять две любые точки на прямой $L_1$ (например, $A$ и $B'$), повернуть каждую из них на $90^\circ$ вокруг центра $O$ и провести новую прямую через полученные точки.

6. Четвертую сторону, $L_4$, можно найти, повернув прямую $L_2$ на тот же угол $90^\circ$ вокруг центра $O$ или построив прямую, симметричную $L_3$ относительно центра $O$.

Пересечение четырех прямых $L_1, L_2, L_3, L_4$ определяет вершины и границы исходного квадратного участка.

Ответ: Необходимо построить точки $A'$ и $B'$, симметричные столбам $A$ и $B$ относительно центра $O$. Две стороны квадрата лежат на прямых, проходящих через пары точек $(A, B')$ и $(B, A')$. Две другие стороны получаются поворотом этих прямых на $90^\circ$ вокруг центра $O$.

Всегда ли это возможно сделать?

Нет, однозначно восстановить границы участка возможно не всегда. Существует один особый случай, когда задача не имеет единственного решения.

Этот случай возникает, когда центр симметрии $O$ является серединой отрезка $AB$, соединяющего два столба. При таком расположении точка $A'$, симметричная $A$ относительно $O$, совпадает с точкой $B$, а точка $B'$ совпадает с $A$. В результате, на третьем шаге описанного выше алгоритма, для проведения прямой $L_1$ потребуется соединить две совпадающие точки ($A$ и $B'$), что невозможно — прямая не определена однозначно.

С геометрической точки зрения, если $O$ — середина отрезка $AB$, это означает, что столбы находятся на противоположных сторонах на линии, проходящей через центр. Направление сторон квадрата относительно этой линии остается неизвестным. Можно построить бесконечно много различных квадратов, которые удовлетворяют этим условиям, меняя угол наклона сторон. Поскольку решение не является единственным, точно восстановить границы *первоначального* участка невозможно.

Во всех остальных случаях, когда точка $O$ не является серединой отрезка $AB$, предложенный алгоритм построения дает единственный правильный результат.

Ответ: Нет, не всегда. Восстановить границы участка возможно тогда и только тогда, когда центр симметрии $O$ не является серединой отрезка, соединяющего два столба. Если $O$ — середина этого отрезка, задача имеет бесконечное множество решений, и однозначно восстановить границы нельзя.