Номер 91, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

91. Диагональ $AC$ трапеции $ABCD$ перпендикулярна ее боковой стороне $CD$. Основание $BC$ равно боковой стороне $AB$, $\angle ADC = 55^\circ$. Найдите остальные углы этой трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). По условию задачи диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, следовательно, угол $\angle ACD = 90^\circ$. Также дано, что основание $BC$ равно боковой стороне $AB$ ($BC = AB$) и угол $\angle ADC = 55^\circ$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle ACD = 90^\circ$ и $\angle ADC = 55^\circ$. Найдем третий угол $\angle CAD$:

$\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle ADC = 180^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.

2. Так как $ABCD$ — трапеция, её основания $AD$ и $BC$ параллельны. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Внутренние накрест лежащие углы при секущей равны, поэтому $\angle BCA = \angle CAD$.

$\angle BCA = \angle CAD = 35^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию $BC = AB$, следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA = 35^\circ$.

4. Теперь мы можем вычислить все неизвестные углы трапеции:

Угол $\angle DAB$ равен сумме углов $\angle CAD$ и $\angle BAC$:

$\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$.

Угол $\angle BCD$ равен сумме углов $\angle BCA$ и $\angle ACD$:

$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 35^\circ + 90^\circ = 125^\circ$.

Угол $\angle ABC$ найдем из суммы углов треугольника $\triangle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Четвертый угол $\angle ADC$ дан в условии и равен $55^\circ$.

Ответ: Остальные углы трапеции равны: $\angle DAB = 70^\circ$, $\angle ABC = 110^\circ$, $\angle BCD = 125^\circ$.