Номер 96, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

96. В равнобедренной трапеции большее основание 7,5 см, боковая сторона 2 см, а ее острый угол $60^{\circ}$. Найдите периметр этой трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ – большее основание, $BC$ – меньшее основание, а $AB$ и $CD$ – боковые стороны.

По условию задачи известны:
- большее основание $AD = 7,5$ см;
- боковая сторона $AB = CD = 2$ см;
- острый угол при большем основании $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Периметр трапеции $P$ – это сумма длин всех ее сторон: $P = AD + BC + AB + CD$. Для вычисления периметра нам необходимо найти длину меньшего основания $BC$.

Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. В результате образуется прямоугольник $HBCK$ и два равных прямоугольных треугольника $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем:

• гипотенуза $AB$ равна боковой стороне трапеции, то есть $AB = 2$ см;
• угол $\angle A = 60^\circ$.

Катет $AH$ является проекцией боковой стороны $AB$ на основание $AD$. Его длину можно найти с помощью косинуса угла $A$:

$AH = AB \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения:

$AH = 2 \cdot \cos(60^\circ)$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AH = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Так как трапеция равнобедренная, то отрезок $KD$, отсекаемый второй высотой, равен отрезку $AH$:

$KD = AH = 1$ см.

Большее основание $AD$ состоит из трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Поскольку четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, его сторона $HK$ равна стороне $BC$. Таким образом, мы можем записать:

$AD = AH + BC + KD$

Подставим известные значения и найдем длину меньшего основания $BC$:

$7,5 = 1 + BC + 1$

$7,5 = 2 + BC$

$BC = 7,5 - 2 = 5,5$ см.

Теперь, зная длины всех сторон, можем вычислить периметр трапеции:

$P = AD + BC + AB + CD$

$P = 7,5 + 5,5 + 2 + 2 = 17$ см.

Ответ: 17 см.