Номер 100, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

100.Постройте с помощью циркуля и линейки:

а) квадрат по его диагонали;

б) ромб по его диагонали и углу между стороной и второй диагональю.

а) Пусть дан отрезок $d$, равный диагонали квадрата. Построение будет следующим:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный данной диагонали $d$.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ проведем две дуги окружности с одинаковым радиусом, большим половины длины отрезка $AC$. Эти дуги пересекутся в двух точках, назовем их $P$ и $Q$.

3. Проведем прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $AC$ и пересекает $AC$ в его середине, точке $O$.

4. Диагонали квадрата равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, вторая диагональ $BD$ будет лежать на прямой $PQ$, а ее половина будет равна половине диагонали $AC$, то есть отрезку $OA$ (или $OC$).

5. С помощью циркуля измерим расстояние $OA$. Отложим это расстояние на прямой $PQ$ от точки $O$ в обе стороны. Получим точки $B$ и $D$. Таким образом, $OB = OD = OA = OC$.

6. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$ отрезками. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Построение описано в пунктах 1-6.

б) Пусть дана диагональ $d_1$ и угол $\alpha$ между стороной и второй диагональю. Пусть искомый ромб — $ABCD$, данная диагональ — $AC = d_1$, а угол между стороной $AB$ и второй диагональю $BD$ — $\angle{ABO} = \alpha$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.

Анализ: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть $\angle{AOB} = 90^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $\triangle{AOB}$ сумма острых углов равна $90^{\circ}$, следовательно, $\angle{OAB} = 90^{\circ} - \angle{ABO} = 90^{\circ} - \alpha$. Построение будет основано на построении треугольника $\triangle{AOB}$ по катету $AO$ (равному половине данной диагонали) и прилежащему острому углу $\angle{OAB}$.

Построение:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный данной диагонали $d_1$.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Обозначим точку пересечения (середину $AC$) как $O$, а сам перпендикуляр — прямой $m$. На этой прямой будет лежать вторая диагональ $BD$.

3. Построим угол, равный $90^{\circ} - \alpha$. Для этого построим прямой угол (например, с вершиной в точке $K$) и от одной из его сторон отложим данный угол $\alpha$. Оставшаяся часть прямого угла и будет искомым углом $90^{\circ} - \alpha$.

4. От луча $AO$ в любую полуплоскость относительно прямой $AC$ отложим построенный угол, равный $90^{\circ} - \alpha$. Проведем луч из точки $A$ под этим углом к отрезку $AC$.

5. Точка пересечения этого луча с прямой $m$ будет вершиной ромба $B$.

6. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам ($BO = OD$), отложим на прямой $m$ от точки $O$ в другую сторону отрезок $OD$, равный отрезку $OB$.

7. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб. По построению, его диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, что является признаком ромба. Угол между стороной $AB$ и диагональю $BD$ равен $\alpha$, так как в $\triangle{AOB}$ имеем $\angle{AOB} = 90^{\circ}$ и $\angle{OAB} = 90^{\circ} - \alpha$, следовательно $\angle{ABO} = \alpha$.

Ответ: Построение описано в пунктах 1-7.