Номер 106, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

106.

a) В параллелограмме $ABCD$ отмечены середины $E$ и $F$ его сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Проведены отрезки $BE$ и $DF$. Докажите, что эти отрезки делят диагональ $AC$ на три равные части.

б) В параллелограмме $ABCD$ $AC = 15 \text{ см}$. Середина $M$ стороны $AB$ соединена отрезком с вершиной $D$. Найдите отрезки, на которые $DM$ делит диагональ $AC$.

а) Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Отрезки $BE$ и $DF$ пересекают диагональ $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Требуется доказать, что $AP = PQ = QC$.

Рассмотрим четырехугольник $EBFD$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$ и $AD = BC$.Поскольку $E$ — середина $AD$, то $ED = \frac{1}{2}AD$.Поскольку $F$ — середина $BC$, то $BF = \frac{1}{2}BC$.Так как $AD = BC$, следует, что $ED = BF$.Так как $E$ лежит на $AD$ и $F$ на $BC$, а $AD \parallel BC$, то $ED \parallel BF$.Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $EBFD$ — параллелограмм.Из этого следует, что $BE \parallel DF$.

Теперь рассмотрим $\triangle ADQ$. В нем $E$ — середина стороны $AD$. Через точку $E$ проведена прямая $EP$ (часть прямой $BE$), которая параллельна стороне $DQ$ (часть прямой $DF$). По теореме Фалеса, если параллельная прямой стороне треугольника прямая отсекает на одной его стороне отрезок, равный ее половине, то и на другой стороне она отсекает отрезок, равный ее половине. В данном случае, прямая $EP$ пересекает сторону $AQ$ в ее середине, точке $P$. Таким образом, $AP = PQ$.

Аналогично рассмотрим $\triangle CBP$. В нем $F$ — середина стороны $BC$. Через точку $F$ проведена прямая $FQ$ (часть прямой $DF$), которая параллельна стороне $BP$ (часть прямой $BE$). По теореме Фалеса, прямая $FQ$ пересекает сторону $CP$ в ее середине, точке $Q$. Таким образом, $PQ = QC$.

Сопоставляя полученные равенства, имеем $AP = PQ = QC$. Следовательно, отрезки $BE$ и $DF$ делят диагональ $AC$ на три равные части, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.

б) Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ $AC = 15$ см. Точка $M$ — середина стороны $AB$. Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$. Найдем длины отрезков $AK$ и $KC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle CKD$.Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$.1. Угол $\angle KАМ$ (он же $\angle CAB$) и угол $\angle KCD$ (он же $\angle ACD$) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AC$.2. Угол $\angle AMK$ и угол $\angle CDK$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $DM$.Следовательно, треугольник $\triangle AKM$ подобен треугольнику $\triangle CKD$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:$\frac{AK}{CK} = \frac{AM}{CD}$По условию, $M$ — середина стороны $AB$, значит $AM = \frac{1}{2}AB$.В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD$.Подставим это в выражение для $AM$: $AM = \frac{1}{2}CD$.Теперь подставим это в пропорцию:$\frac{AK}{CK} = \frac{\frac{1}{2}CD}{CD} = \frac{1}{2}$Из этой пропорции получаем, что $CK = 2 \cdot AK$.

Мы знаем, что $AC = AK + CK$. Подставив сюда выражение для $CK$, получим:$AC = AK + 2 \cdot AK = 3 \cdot AK$По условию $AC = 15$ см, значит:$15 = 3 \cdot AK$Отсюда находим $AK$:$AK = \frac{15}{3} = 5$ см.Теперь находим $CK$:$CK = 2 \cdot AK = 2 \cdot 5 = 10$ см.Таким образом, отрезок $DM$ делит диагональ $AC$ на отрезки длиной 5 см и 10 см.

Ответ: 5 см и 10 см.