Номер 103, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

103.

a) Найдите пропорциональные отрезки (рисунок 59), отношение которых равно $1 : \frac{2}{3}$.

б) Пропорциональны ли отрезки $AB$ и $CD$ отрезкам $MN$ и $PK$, если: 1) $AB = 0,8$ см, $CD = 4$ см, $MN = 0,3$ см, $PK = 1,5$ см; 2) $AB = 7$ м, $CD = 2$ м, $MN = 3$ м, $PK = 10,5$ м? Если пропорциональны, то составьте пропорцию.

в) Найдите неизвестное значение $x$ из пропорции: 1) $5 : x = 4 : 7$; 2) $5 : 4 = 2x : 13$; 3) $2 : 3 = 11 : (x+3)$.

а) Для решения данной задачи необходим рисунок 59, который отсутствует в задании. Без него невозможно определить длины отрезков и найти среди них пропорциональные с заданными отношениями.

Ответ: Решение невозможно без рисунка 59.

б) Два отрезка $AB$ и $CD$ считаются пропорциональными двум другим отрезкам $MN$ и $PK$, если отношение длин первой пары отрезков равно отношению длин второй пары. То есть, если выполняется равенство $\frac{AB}{CD} = \frac{MN}{PK}$. Проверим это условие для каждого случая.

1) Дано: $AB = 0,8$ см, $CD = 4$ см, $MN = 0,3$ см, $PK = 1,5$ см.

Найдем отношение длин отрезков $AB$ и $CD$: $\frac{AB}{CD} = \frac{0,8}{4} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$.

Найдем отношение длин отрезков $MN$ и $PK$: $\frac{MN}{PK} = \frac{0,3}{1,5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Поскольку отношения равны ($\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$), отрезки пропорциональны. Пропорцию можно записать как $AB : CD = MN : PK$, или в числах: $0,8 : 4 = 0,3 : 1,5$.

2) Дано: $AB = 7$ м, $CD = 2$ м, $MN = 3$ м, $PK = 10,5$ м.

Найдем отношение длин отрезков $AB$ и $CD$: $\frac{AB}{CD} = \frac{7}{2} = 3,5$.

Найдем отношение длин отрезков $MN$ и $PK$: $\frac{MN}{PK} = \frac{3}{10,5} = \frac{30}{105} = \frac{2 \cdot 15}{7 \cdot 15} = \frac{2}{7}$.

Поскольку отношения не равны ($\frac{7}{2} \neq \frac{2}{7}$), данные отрезки не являются пропорциональными.

Ответ: 1) Да, отрезки пропорциональны. Пропорция: $0,8 : 4 = 0,3 : 1,5$. 2) Нет, отрезки не пропорциональны.

в) Для нахождения неизвестного значения $x$ из пропорции вида $a : b = c : d$ используется ее основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть $a \cdot d = b \cdot c$.

1) $5 : x = 4 : 7$

Применяем основное свойство пропорции: $5 \cdot 7 = x \cdot 4$.

$35 = 4x$.

$x = \frac{35}{4} = 8,75$.

Ответ: $8,75$.

2) $5 : 4 = 2x : 13$

Применяем основное свойство пропорции: $5 \cdot 13 = 4 \cdot (2x)$.

$65 = 8x$.

$x = \frac{65}{8} = 8,125$.

Ответ: $8,125$.

3) $2 : 3 = 11 : (x + 3)$

Применяем основное свойство пропорции: $2 \cdot (x + 3) = 3 \cdot 11$.

$2x + 6 = 33$.

$2x = 33 - 6$.

$2x = 27$.

$x = \frac{27}{2} = 13,5$.

Ответ: $13,5$.