Вопросы, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Дайте определение средней линии треугольника.

2. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

3. Докажите, что прямая, проведенная через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, делит третью сторону пополам.

1. Определение средней линии треугольника

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Ответ:

2. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

Формулировка теоремы: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Дано:

Пусть дан треугольник $ABC$. $M$ - середина стороны $AB$, $N$ - середина стороны $BC$. Отрезок $MN$ - средняя линия.

Найти:

Доказать, что $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

Решение:

Проведем через точку $C$ прямую, параллельную $AB$. Продолжим среднюю линию $MN$ до пересечения с этой прямой в точке $D$.

Рассмотрим треугольники $BMN$ и $CND$. У них $BN = NC$, так как $N$ - середина стороны $BC$ по условию. Углы $\angle BNM$ и $\angle CND$ являются вертикальными, поэтому они равны. Углы $\angle MBN$ и $\angle DCN$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB \parallel CD$ и секущей $BC$, поэтому они равны. Из этих равенств следует, что $\triangle BMN \cong \triangle CND$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (по признаку ASA).

Из конгруэнтности треугольников следует, что $MN = ND$ и $BM = CD$.

Поскольку $M$ - середина $AB$, то $AM = BM$. Следовательно, $AM = CD$.

Мы имеем четырехугольник $AMDC$, у которого $AM \parallel CD$ (так как $AB \parallel CD$) и $AM = CD$. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Значит, $AMDC$ - параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $MD \parallel AC$. Поскольку $MN$ лежит на прямой $MD$, то $MN \parallel AC$.

Также в параллелограмме $AMDC$ противоположные стороны равны, то есть $MD = AC$.

Так как $MN = ND$ (из конгруэнтности треугольников), то $MD = MN + ND = MN + MN = 2MN$.

Подставляя $MD = 2MN$ в равенство $MD = AC$, получаем $2MN = AC$, откуда $MN = \frac{1}{2} AC$.

Теорема доказана.

Ответ:

3. Докажите, что прямая, проведенная через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, делит третью сторону пополам.

Доказательство:

Дано:

Дан треугольник $ABC$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $N$.

Найти:

Доказать, что точка $N$ является серединой стороны $BC$, то есть $BN = NC$.

Решение:

Предположим противное, что точка $N$ не является серединой стороны $BC$.

Тогда пусть $N'$ будет истинной серединой стороны $BC$.

В этом случае отрезок $MN'$ является средней линией треугольника $ABC$ по определению (соединяет середины сторон $AB$ и $BC$).

По теореме о средней линии треугольника (доказанной в предыдущем пункте), средняя линия $MN'$ параллельна третьей стороне $AC$, то есть $MN' \parallel AC$.

По условию задачи, через точку $M$ проведена прямая $MN$, которая параллельна $AC$, то есть $MN \parallel AC$.

Таким образом, мы имеем две прямые, $MN$ и $MN'$, которые проходят через одну и ту же точку $M$ и обе параллельны одной и той же прямой $AC$.

Однако, согласно аксиоме параллельных прямых (пятый постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что $N$ не является серединой стороны $BC$, было неверным.

Следовательно, точка $N$ обязательно является серединой стороны $BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: