Номер 112, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

112. В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $ED$ – средняя линия, параллельная $AC$, $DF$ – средняя линия, параллельная $AB$. Докажите, что треугольники $BED$ и $DFC$ равны.

Дано:

Треугольник $ABC$ – равнобедренный, со сторонами $AB$ и $BC$ равными ($AB = BC$).

$ED$ – средняя линия треугольника $ABC$, параллельная $AC$.

$DF$ – средняя линия треугольника $ABC$, параллельная $AB$.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача по геометрии и не содержит числовых значений).

Найти:

Доказать, что треугольники $BED$ и $DFC$ равны.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, он равнобедренный, и $AB = BC$. Из этого следует, что углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

По определению средней линии треугольника, если $ED$ – средняя линия, параллельная $AC$, то точки $E$ и $D$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Следовательно, $E$ – середина $AB$, и $D$ – середина $BC$.

Аналогично, если $DF$ – средняя линия, параллельная $AB$, то точки $D$ и $F$ являются серединами сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Это подтверждает, что $D$ – середина $BC$, а также $F$ – середина $AC$.

Теперь рассмотрим треугольники $BED$ и $DFC$.

1. Сравнение углов $\angle BED$ и $\angle DFC$: Так как $ED \parallel AC$ (по условию), то $\angle BED = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $ED$ и $AC$ и секущей $AB$. Так как $DF \parallel AB$ (по условию), то $\angle DFC = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DF$ и $AB$ и секущей $AC$. Из этого следует, что $\angle BED = \angle DFC$ (поскольку оба равны $\angle BAC$).

2. Сравнение углов $\angle BDE$ и $\angle FCD$: Так как $ED \parallel AC$ (по условию), то $\angle BDE = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $ED$ и $AC$ и секущей $BC$. Угол $\angle FCD$ является тем же углом, что и $\angle BCA$ (угол $C$ треугольника $ABC$). Следовательно, $\angle BDE = \angle FCD$ (так как оба равны $\angle BCA$).

3. Сравнение сторон $BD$ и $DC$: Поскольку $D$ – середина стороны $BC$ (из определения средней линии), то $BD = DC$.

Теперь мы можем применить признак равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей против одного из них (AAS - Angle-Angle-Side).

В $\triangle BED$: * $\angle BED$ * $\angle BDE$ * Сторона $BD$ (лежит напротив угла $\angle BED$)

В $\triangle DFC$: * $\angle DFC$ * $\angle FCD$ * Сторона $DC$ (лежит напротив угла $\angle DFC$)

Мы установили, что: * $\angle BED = \angle DFC$ (из пункта 1) * $\angle BDE = \angle FCD$ (из пункта 2) * $BD = DC$ (из пункта 3)

Так как сторона $BD$ лежит напротив угла $\angle BED$ в $\triangle BED$, а сторона $DC$ лежит напротив угла $\angle DFC$ в $\triangle DFC$, и эти углы равны, то по признаку AAS треугольники $BED$ и $DFC$ равны.

Ответ:

Треугольники $BED$ и $DFC$ равны по признаку равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей против одного из них.