Вопросы, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называют средней линией трапеции?

2. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

1. Что называют средней линией трапеции?

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Ответ:

2. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

Дано: Трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точка M - середина боковой стороны AB, точка N - середина боковой стороны CD. Отрезок MN - средняя линия трапеции.

Не требуется перевод в СИ, так как это геометрическая задача без числовых данных.

Найти: Сформулировать теорему о средней линии трапеции и доказать ее.

Решение

Формулировка теоремы: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

То есть, если MN - средняя линия трапеции ABCD с основаниями AD и BC, то $MN \parallel AD$, $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точка M - середина боковой стороны AB, точка N - середина боковой стороны CD. Отрезок MN - средняя линия трапеции.

1. Проведем прямую через точку M, параллельную основанию AD (поскольку AD $\parallel$ BC, эта прямая будет также параллельна BC). Пусть эта прямая пересечет боковую сторону CD в точке N'.

2. Проведем диагональ BD. Пусть точка K будет точкой пересечения диагонали BD и прямой MN'.

3. Рассмотрим треугольник ABD. Точка M - середина стороны AB (по условию). Отрезок MK лежит на прямой, проходящей через M и параллельной AD (по построению). По теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника: если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает вторую сторону в её середине, то она пересекает и третью сторону в её середине), точка K является серединой стороны BD. Кроме того, по этой же теореме (или как часть средней линии треугольника), длина отрезка $MK = \frac{1}{2} AD$.

4. Рассмотрим треугольник BCD. Точка K - середина стороны BD (доказано в п.3). Отрезок KN' лежит на прямой, проходящей через K и параллельной BC (по построению, т.к. MN' $\parallel$ BC). По теореме Фалеса, точка N' является серединой стороны CD.

5. По условию, точка N также является серединой стороны CD. Поскольку N' и N обе являются серединами одного и того же отрезка CD, то точки N' и N совпадают.

6. Таким образом, средняя линия MN, соединяющая середины сторон AB и CD, совпадает с отрезком MN', который по построению был параллелен основаниям трапеции. Следовательно, средняя линия трапеции параллельна её основаниям: $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

7. Теперь найдем длину средней линии. Из п.3 мы знаем, что $MK = \frac{1}{2} AD$. Из п.4, так как N' совпадает с N, то в треугольнике BCD отрезок KN является отрезком, соединяющим середину BD (K) с серединой CD (N), и он параллелен BC. Значит, $KN = \frac{1}{2} BC$.

8. Средняя линия MN состоит из двух отрезков MK и KN, поскольку M, K, N лежат на одной прямой. Значит, $MN = MK + KN$.

9. Подставляя значения, получаем: $MN = \frac{1}{2} AD + \frac{1}{2} BC = \frac{AD + BC}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: