Номер 116, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

116.

a) Докажите, что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам.

б) Большее основание трапеции имеет длину 14 см. Найдите длину ее меньшего основания, если расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 3 см.

а) Докажите, что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и DC. Проведем среднюю линию MN, где M - середина стороны AD, а N - середина стороны BC.

Рассмотрим диагональ AC. Пусть средняя линия MN пересекает диагональ AC в точке P.

В треугольнике ADC:
Точка M является серединой стороны AD (по определению средней линии).
Средняя линия трапеции MN параллельна ее основаниям AB и DC. Следовательно, отрезок MP, являющийся частью средней линии MN, параллелен основанию DC.
По теореме Фалеса (или обратной теореме о средней линии треугольника): если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине.
Таким образом, в треугольнике ADC, поскольку MP || DC и M - середина AD, то P является серединой стороны AC.

Аналогично, рассмотрим диагональ BD. Пусть средняя линия MN пересекает диагональ BD в точке Q.

В треугольнике BDC:
Точка N является серединой стороны BC (по определению средней линии).
Отрезок NQ, являющийся частью средней линии MN, параллелен основанию DC.
По той же теореме, в треугольнике BDC, поскольку NQ || DC и N - середина BC, то Q является серединой стороны BD.

Следовательно, средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам.

Ответ:

б) Большее основание трапеции имеет длину 14 см. Найдите длину ее меньшего основания, если расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 3 см.

Дано:

большее основание трапеции $a = 14 \text{ см}$

расстояние между серединами диагоналей трапеции $k = 3 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$k = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

меньшее основание трапеции $b$

Решение:

Расстояние между серединами диагоналей трапеции выражается формулой:

$k = \frac{|a - b|}{2}$

По условию, $a$ - большее основание, следовательно $a > b$. Тогда формула принимает вид:

$k = \frac{a - b}{2}$

Подставим известные значения в формулу:

$3 = \frac{14 - b}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$3 \cdot 2 = 14 - b$

$6 = 14 - b$

Перенесем $b$ в левую часть, а 6 в правую часть уравнения:

$b = 14 - 6$

$b = 8 \text{ см}$

Ответ: $8 \text{ см}$