Номер 114, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

114. а) На школьной доске отмечены три точки $A$, $B$, $C$, не лежащие на одной прямой. Проведите через точку $A$, с помощью циркуля и линейки прямую, параллельную прямой $BC$, используя свойство средней линии треугольника.

б) С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если данные три точки – середины его сторон.

a)

Дано:

Три точки $A$, $B$, $C$, не лежащие на одной прямой.

Найти:

Построить прямую через точку $A$, параллельную прямой $BC$, используя свойство средней линии треугольника.

Решение:

Для построения прямой через точку $A$, параллельной прямой $BC$, используя свойство средней линии треугольника, выполним следующие шаги:

1. Проведите прямую через точки $A$ и $B$.

2. С помощью циркуля отложите на продолжении отрезка $BA$ за точку $A$ отрезок $AD$, равный отрезку $BA$. Для этого установите ножку циркуля в точку $B$, карандаш в точку $A$, затем перенесите ножку циркуля в точку $A$ и, не меняя раствора циркуля, отметьте дугой точку $D$ на прямой $BA$ так, чтобы $A$ оказалась серединой отрезка $BD$.

3. Проведите прямую через точки $C$ и $D$.

4. Найдите середину отрезка $CD$. Для этого постройте серединный перпендикуляр к отрезку $CD$. Установите ножку циркуля в точку $C$ и начертите дугу радиусом, большим половины длины отрезка $CD$. Не меняя радиуса, установите ножку циркуля в точку $D$ и начертите еще одну дугу. Эти две дуги пересекутся в двух точках. Проведите прямую через эти две точки пересечения. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $CD$. Точка пересечения серединного перпендикуляра с отрезком $CD$ является его серединой. Обозначим эту середину точкой $M$.

5. Проведите прямую через точки $A$ и $M$.

Обоснование: По построению, точка $A$ является серединой отрезка $BD$, а точка $M$ является серединой отрезка $CD$. Следовательно, отрезок $AM$ является средней линией треугольника $BCD$. По свойству средней линии треугольника, средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. Таким образом, прямая $AM$ параллельна прямой $BC$.

Ответ:

Прямая $AM$ является искомой прямой.

б)

Дано:

Три точки $A$, $B$, $C$, которые являются серединами сторон некоторого треугольника.

Найти:

Построить этот треугольник.

Решение:

Пусть искомый треугольник будет $PQR$, а данные точки $A$, $B$, $C$ являются серединами его сторон $PQ$, $QR$, $RP$ соответственно. Тогда отрезки $AB$, $BC$, $CA$ являются средними линиями треугольника $PQR$. Из свойства средних линий следует, что $AB \parallel PR$, $BC \parallel PQ$, и $CA \parallel QR$.

Для построения вершин треугольника $PQR$ выполним следующие шаги:

1. Соедините данные точки $A$, $B$, $C$ отрезками, чтобы образовать треугольник $ABC$ (медиальный треугольник).

2. Построение вершины $P$: Вершина $P$ является четвертой вершиной параллелограмма $APCB$.

   Для построения $P$ выполните:

   1. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $AB$. Начертите дугу окружности с центром в точке $C$ и этим радиусом.

   2. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $BC$. Начертите дугу окружности с центром в точке $A$ и этим радиусом.

   3. Точка пересечения этих двух дуг является вершиной $P$. Таким образом, построен четырехугольник $APCB$, который является параллелограммом (поскольку его противоположные стороны $AP$ и $BC$, а также $PC$ и $AB$ равны по построению).

3. Построение вершины $Q$: Вершина $Q$ является четвертой вершиной параллелограмма $AQBC$.

   Для построения $Q$ выполните:

   1. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $AC$. Начертите дугу окружности с центром в точке $B$ и этим радиусом.

   2. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $CB$. Начертите дугу окружности с центром в точке $A$ и этим радиусом.

   3. Точка пересечения этих двух дуг является вершиной $Q$. Таким образом, построен четырехугольник $AQBC$, который является параллелограммом.

4. Построение вершины $R$: Вершина $R$ является четвертой вершиной параллелограмма $ABRC$.

   Для построения $R$ выполните:

   1. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $AB$. Начертите дугу окружности с центром в точке $C$ и этим радиусом.

   2. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $AC$. Начертите дугу окружности с центром в точке $B$ и этим радиусом.

   3. Точка пересечения этих двух дуг является вершиной $R$. Таким образом, построен четырехугольник $ABRC$, который является параллелограммом.

5. Соедините точки $P$, $Q$, $R$ отрезками $PQ$, $QR$, $RP$. Полученный треугольник $PQR$ является искомым.

Обоснование: Построение основано на свойствах параллелограмма и медиального треугольника. Если $A, B, C$ - середины сторон $PQ, QR, RP$ соответственно, то $APCB$, $AQBC$ и $ABRC$ будут параллелограммами. Например, из того, что $APCB$ - параллелограмм, следует, что $\vec{AP} = \vec{BC}$. Из того, что $AQBC$ - параллелограмм, следует, что $\vec{AQ} = \vec{CB}$. Поскольку $\vec{BC} = -\vec{CB}$, то $\vec{AP} = -\vec{AQ}$. Это означает, что точка $A$ лежит на отрезке $PQ$ и является его серединой. Аналогично, из параллелограммов $AQBC$ и $ABRC$ следует, что $\vec{BQ} = \vec{CA}$ и $\vec{BR} = \vec{AC}$. Поскольку $\vec{CA} = -\vec{AC}$, то $\vec{BQ} = -\vec{BR}$. Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $QR$. И наконец, из параллелограммов $APCB$ и $ABRC$ следует, что $\vec{CP} = \vec{BA}$ и $\vec{CR} = \vec{AB}$. Поскольку $\vec{BA} = -\vec{AB}$, то $\vec{CP} = -\vec{CR}$. Это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $RP$. Таким образом, построенный треугольник $PQR$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Искомый треугольник $PQR$ построен.