Номер 113, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

113. Докажите, что:

а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба;

б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Дано:

a) Прямоугольник ABCD. E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

b) Ромб ABCD. E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Найти:

a) Доказать, что EFGH - ромб.

b) Доказать, что EFGH - прямоугольник.

Решение:

a) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба

Пусть дан прямоугольник ABCD. Обозначим длины его смежных сторон как $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$.

Точки E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Это означает, что:

$AE = EB = a/2$

$BF = FC = b/2$

$CG = GD = a/2$

$DH = HA = b/2$

Рассмотрим четыре прямоугольных треугольника, образованных вершинами прямоугольника и серединами сторон: $ \triangle AEH $, $ \triangle BEF $, $ \triangle CGF $, $ \triangle DGH $. Все углы при вершинах прямоугольника равны $90^\circ$.

В $ \triangle AEH $: катеты $AE = a/2$ и $AH = b/2$. По теореме Пифагора длина гипотенузы EH равна:

$EH^2 = AE^2 + AH^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2$

$EH = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2}$

В $ \triangle BEF $: катеты $BE = a/2$ и $BF = b/2$. По теореме Пифагора длина гипотенузы EF равна:

$EF^2 = BE^2 + BF^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2$

$EF = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2}$

В $ \triangle CGF $: катеты $CG = a/2$ и $CF = b/2$. По теореме Пифагора длина гипотенузы FG равна:

$FG^2 = CG^2 + CF^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2$

$FG = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2}$

В $ \triangle DGH $: катеты $DG = a/2$ и $DH = b/2$. По теореме Пифагора длина гипотенузы GH равна:

$GH^2 = DG^2 + DH^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2$

$GH = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2}$

Так как $EH = EF = FG = GH = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2}$, все стороны четырехугольника EFGH равны между собой.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Ответ: Доказано, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

b) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Пусть дан ромб ABCD. Точки E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. Докажем, что EFGH является параллелограммом.

Рассмотрим $ \triangle ABC $. EF является средней линией этого треугольника, так как E - середина AB и F - середина BC.

По свойству средней линии треугольника, $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2} AC$.

Рассмотрим $ \triangle ADC $. GH является средней линией этого треугольника, так как G - середина CD и H - середина DA.

По свойству средней линии треугольника, $GH \parallel AC$ и $GH = \frac{1}{2} AC$.

Из этих двух утверждений следует, что $EF \parallel GH$ и $EF = GH$.

Аналогично, рассмотрим $ \triangle BCD $. FG является средней линией этого треугольника, так как F - середина BC и G - середина CD.

По свойству средней линии треугольника, $FG \parallel BD$ и $FG = \frac{1}{2} BD$.

Рассмотрим $ \triangle ABD $. EH является средней линией этого треугольника, так как E - середина AB и H - середина DA.

По свойству средней линии треугольника, $EH \parallel BD$ и $EH = \frac{1}{2} BD$.

Из этих двух утверждений следует, что $FG \parallel EH$ и $FG = EH$.

Так как обе пары противоположных сторон четырехугольника EFGH параллельны и равны ($EF \parallel GH$, $EF = GH$ и $FG \parallel EH$, $FG = EH$), EFGH является параллелограммом.

2. Докажем, что EFGH имеет прямой угол.

Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

Мы установили, что $EF \parallel AC$ и $FG \parallel BD$.

Если две прямые (EF и FG) параллельны двум другим взаимно перпендикулярным прямым (AC и BD), то эти две прямые (EF и FG) также взаимно перпендикулярны.

Поэтому $EF \perp FG$, что означает $ \angle EFG = 90^\circ $.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.

Таким образом, четырехугольник EFGH, являющийся параллелограммом с прямым углом $ \angle EFG $, является прямоугольником.

Ответ: Доказано, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.