Номер 108, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

108. а) Докажите, что прямая, проходящая через середины диагоналей равнобедренной трапеции, образует с равными сторонами равные углы.

б) Даны три отрезка: a, b, c. Постройте четвертый пропорциональный отрезок x такой, что: 1) $\frac{x}{a} = \frac{a+b}{b}$; 2) $\frac{x}{a+b} = \frac{a+c}{c}$.

а) Докажите, что прямая, проходящая через середины диагоналей равнобедренной трапеции, образует с равными сторонами равные углы.

Доказательство:

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ и равными боковыми сторонами $AD = BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Требуется доказать, что прямая $MN$ образует равные углы с боковыми сторонами $AD$ и $BC$.

1. Введем вспомогательные точки: пусть $K$ — середина стороны $AD$, а $L$ — середина стороны $BC$. Отрезок $KL$ является средней линией (медианой) трапеции $ABCD$. По свойству средней линии трапеции, $KL \parallel AB$ и $KL \parallel CD$.

2. Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как $K$ — середина $AD$, а $N$ — середина $BD$, то отрезок $KN$ является средней линией треугольника $ADB$. Следовательно, $KN \parallel AB$ и $KN = \frac{1}{2}AB$.

3. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $AC$, а $L$ — середина $BC$, то отрезок $ML$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, $ML \parallel AB$ и $ML = \frac{1}{2}AB$.

4. Поскольку $KN \parallel AB$ и $ML \parallel AB$, а также точки $K$ и $L$ лежат на средней линии трапеции $KL$, то точки $K$, $N$, $M$, $L$ лежат на одной прямой. Это означает, что прямая, проходящая через середины диагоналей $M$ и $N$, совпадает с прямой, содержащей среднюю линию трапеции $KL$.

5. Теперь докажем, что прямая $KL$ образует равные углы с боковыми сторонами $AD$ и $BC$. Поскольку $ABCD$ — равнобедренная трапеция, углы при одном основании равны, то есть $\angle DAB = \angle CBA$.

6. Так как прямая $KL \parallel AB$, то при пересечении параллельных прямых $KL$ и $AB$ секущей $AD$ сумма односторонних углов $\angle AKL + \angle DAB = 180^\circ$.

7. Аналогично, при пересечении параллельных прямых $KL$ и $AB$ секущей $BC$ сумма односторонних углов $\angle BLK + \angle CBA = 180^\circ$.

8. Поскольку $\angle DAB = \angle CBA$ (из п. 5), то из равенств $\angle AKL = 180^\circ - \angle DAB$ и $\angle BLK = 180^\circ - \angle CBA$ следует, что $\angle AKL = \angle BLK$. Эти углы и являются углами, которые прямая $KL$ (а значит и прямая $MN$) образует с боковыми сторонами $AD$ и $BC$ соответственно.

Ответ: Доказано.

б) Даны три отрезка: $a, b, c$. Постройте четвертый пропорциональный отрезок $x$ такой, что: 1) $ \frac{x}{a} = \frac{a+b}{b} $; 2) $ \frac{x}{a+b} = \frac{a+c}{c} $.

Построение:

Для построения четвертого пропорционального отрезка используется теорема Фалеса или свойство подобных треугольников. Если требуется построить отрезок $x$ такой, что $\frac{u}{v} = \frac{w}{x}$, то можно переписать это как $\frac{v}{u} = \frac{x}{w}$. На одном луче откладываются отрезки $u$ и $v$ от вершины угла, на другом луче откладывается $w$. Проводится прямая, соединяющая конец отрезка $u$ с концом отрезка $w$. Затем через конец отрезка $v$ проводится прямая, параллельная первой, до пересечения со вторым лучом, что определяет отрезок $x$.

1) Построение отрезка $x$ такого, что $ \frac{x}{a} = \frac{a+b}{b} $

Перепишем данное соотношение в виде $\frac{b}{a} = \frac{a+b}{x}$. Таким образом, $x$ является четвертым пропорциональным для отрезков $b$, $a$ и $a+b$.

1. Постройте отрезок, равный сумме длин отрезков $a$ и $b$. Для этого начертите произвольную прямую, отметьте на ней точку $P$. От точки $P$ отложите отрезок $PQ = a$. От точки $Q$ в том же направлении отложите отрезок $QR = b$. Тогда отрезок $PR$ будет иметь длину $a+b$. Пусть $L_1 = a+b$.

2. Начертите произвольный угол с вершиной $O$.

3. На одной стороне угла отложите от вершины $O$ последовательно отрезки $OA = b$ и $AB' = a$. (Точка $B'$ не на изображении, это просто название, чтобы отличать от $B$ в пропорции. Лучше использовать $OB=a$ напрямую). На одной стороне угла отложите от вершины $O$ отрезок $OA = b$. От точки $A$ отложите отрезок $AB = a$ так, чтобы точки $O, A, B$ были на одной прямой. Таким образом, $OB = a+b$. (Это не соответствует стандартной четвертой пропорциональной конструкции. Давайте используем $A, B$ как концы отрезков на одном луче).

Давайте используем стандартную схему $\frac{X}{Y} = \frac{Z}{W}$, тогда $XW = YZ$.В нашем случае $x \cdot b = a \cdot (a+b)$. Это $\frac{x}{a} = \frac{a+b}{b}$.Пусть $A = a$, $B = b$, $C = a+b$. Ищем $x$.Тогда $\frac{x}{A} = \frac{C}{B}$.

Корректировка шагов для 1):

1. Постройте отрезок, равный сумме длин отрезков $a$ и $b$. Начертите луч, отметьте точку $P$. Отложите $PQ = a$, затем $QR = b$. Отрезок $PR$ имеет длину $a+b$. Обозначим $PR = L_1$.

2. Начертите произвольный угол с вершиной $O$.

3. На одной стороне угла отложите от вершины $O$ отрезок $OC = b$.

4. На той же стороне отложите отрезок $OD = a$ (так, чтобы $O, C, D$ были на одной прямой, и $OC=b, CD=a$, т.е. $OD=a+b$).

5. На другой стороне угла отложите отрезок $OE = L_1 = a+b$.

6. Соедините точки $C$ и $E$ отрезком $CE$.

7. Через точку $D$ проведите прямую, параллельную $CE$, до пересечения с лучом $OE$ (или его продолжением) в точке $F$.

8. Отрезок $EF$ является искомым отрезком $x$. (По теореме Фалеса, $\frac{OD}{OC} = \frac{OF}{OE}$. Тогда $\frac{a+b}{b} = \frac{x}{a+b}$. Это не то. Необходимо, чтобы $OC=b$, $CD=a$ и $OE=a+b$, и $DF$ было параллельно $CE$. Тогда $\frac{OC}{OD} = \frac{OE}{OF}$. Т.е. $\frac{b}{b+a} = \frac{a+b}{x}$. Это $bx = (a+b)^2$. Это не то. )

Давайте снова к $\frac{A}{B} = \frac{C}{X}$ или $\frac{B}{A} = \frac{X}{C}$Для $\frac{x}{a} = \frac{a+b}{b}$, это $x = \frac{a(a+b)}{b}$.Применим формулу $x = \frac{MN}{K}$ в виде $\frac{K}{M} = \frac{N}{x}$.Здесь $K=b$, $M=a$, $N=a+b$.

Правильные шаги для 1):

1. Постройте отрезок $L_1 = a+b$. (Как в первом шаге выше: $P-Q-R$, где $PQ=a, QR=b$, тогда $PR=L_1$).

2. Начертите произвольный угол с вершиной $O$.

3. На одной стороне угла отложите от вершины $O$ отрезок $OA = b$ (знаменатель $b$).

4. На той же стороне угла отложите от вершины $O$ отрезок $OB = a$ (числитель $a$ из $x/a$).

5. На другой стороне угла отложите от вершины $O$ отрезок $OC = L_1 = a+b$ (числитель $a+b$).

6. Соедините точки $A$ и $C$ отрезком $AC$.

7. Через точку $B$ проведите прямую, параллельную $AC$, до пересечения с лучом $OC$ (или его продолжением) в точке $D$.

8. Отрезок $CD$ является искомым отрезком $x$. (По теореме Фалеса: $OA/OB = OC/OD$. Т.е. $b/a = (a+b)/x$. Это дает $bx = a(a+b)$, что соответствует заданному).
Wait, the point $D$ would be on the ray $OC$, not $CD$. It should be $OD$. If $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$, then $\frac{b}{a} = \frac{a+b}{OD}$. So $OD = \frac{a(a+b)}{b}$. This is $x$. So $OD$ is $x$.

Окончательные шаги для 1):

1. Постройте отрезок $L_1 = a+b$. Для этого на произвольной прямой отложите от точки $P$ отрезок $PQ = a$, а затем от точки $Q$ отложите отрезок $QR = b$. Длина отрезка $PR$ равна $a+b$.

2. Начертите произвольный угол с вершиной $O$.

3. На одной стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OA = b$.

4. На той же стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OB = a$.

5. На другой стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OC = L_1 = a+b$.

6. Соедините точки $A$ и $C$ отрезком $AC$.

7. Через точку $B$ проведите прямую, параллельную отрезку $AC$. Эта прямая пересечет вторую сторону угла (луч $OC$) в точке $D$.

8. Отрезок $OD$ является искомым отрезком $x$. По свойству подобных треугольников (или по теореме Фалеса), $\triangle OAC \sim \triangle OBD$, поэтому $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$. Подставляя длины отрезков, получаем $\frac{b}{a} = \frac{a+b}{OD}$. Из этого следует, что $OD = \frac{a(a+b)}{b}$, что и является искомой величиной $x$.

Ответ: Отрезок $OD$ построен.

2) Построение отрезка $x$ такого, что $ \frac{x}{a+b} = \frac{a+c}{c} $

Перепишем данное соотношение в виде $x = \frac{(a+b)(a+c)}{c}$. Таким образом, $x$ является четвертым пропорциональным для отрезков $c$, $a+b$ и $a+c$.

1. Постройте отрезок $L_1 = a+b$. (Например, как в п. 1 для части 1, обозначьте $PR = L_1$).

2. Постройте отрезок $L_2 = a+c$. Для этого на произвольной прямой отложите от точки $S$ отрезок $ST = a$, а затем от точки $T$ отложите отрезок $TU = c$. Длина отрезка $SU$ равна $a+c$.

3. Начертите произвольный угол с вершиной $O$.

4. На одной стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OA = c$.

5. На той же стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OB = L_1 = a+b$.

6. На другой стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OC = L_2 = a+c$.

7. Соедините точки $A$ и $C$ отрезком $AC$.

8. Через точку $B$ проведите прямую, параллельную отрезку $AC$. Эта прямая пересечет вторую сторону угла (луч $OC$) в точке $D$.

9. Отрезок $OD$ является искомым отрезком $x$. По свойству подобных треугольников (или по теореме Фалеса), $\triangle OAC \sim \triangle OBD$, поэтому $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$. Подставляя длины отрезков, получаем $\frac{c}{a+b} = \frac{a+c}{OD}$. Из этого следует, что $OD = \frac{(a+b)(a+c)}{c}$, что и является искомой величиной $x$.

Ответ: Отрезок $OD$ построен.