Номер 104, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

104. a) Разделите данный отрезок при помощи циркуля и линейки на указанное число равных частей: 1) 3; 2) 5.

б) На отрезке $AB$ найдите точку $C$ такую, чтобы $AC : CB = 2 : 3$.

в) На прямой $AB$ найдите точку $D$ такую, чтобы $AD : DB = 4 : 3$. Рассмотрите все возможные случаи расположения точек $A, B$ и $D$.

а) 1)

Для деления данного отрезка $AB$ на 3 равные части с помощью циркуля и линейки используется метод, основанный на теореме Фалеса.

Порядок действий:

1. Из точки $A$ проводится произвольный луч $l$, не совпадающий с прямой $AB$.
2. На луче $l$ с помощью циркуля откладываются три последовательных равных отрезка произвольной длины. Обозначим их концы как $A_1, A_2, A_3$, так что $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$.
3. Конец последнего отрезка, точка $A_3$, соединяется с точкой $B$ прямой линией.
4. Через точки $A_1$ и $A_2$ проводятся прямые, параллельные отрезку $A_3B$. Эти прямые строятся с помощью циркуля и линейки, например, путем построения равных соответственных углов.
5. Точки пересечения этих параллельных прямых с отрезком $AB$ (назовем их $C_1$ и $C_2$) и разделят отрезок $AB$ на три равные части.

Согласно теореме Фалеса, поскольку параллельные прямые отсекают на одной стороне угла (луче $l$) равные отрезки ($AA_1=A_1A_2=A_2A_3$), они отсекают равные отрезки и на другой стороне угла (отрезке $AB$). Таким образом, $AC_1 = C_1C_2 = C_2B$.

Ответ: Построение выполнено, отрезок разделен на 3 равные части.

а) 2)

Деление отрезка $AB$ на 5 равных частей выполняется аналогично предыдущему пункту, но на вспомогательном луче откладывается 5 равных отрезков.

Порядок действий:

1. Из точки $A$ проводится произвольный луч $l$.
2. На луче $l$ откладываются пять последовательных равных отрезков: $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$.
3. Точка $A_5$ соединяется с точкой $B$.
4. Через точки $A_1, A_2, A_3, A_4$ проводятся прямые, параллельные отрезку $A_5B$.
5. Точки пересечения этих прямых с отрезком $AB$ разделят его на пять равных частей.

Ответ: Построение выполнено, отрезок разделен на 5 равных частей.

б)

Задача найти на отрезке $AB$ точку $C$ такую, чтобы $AC : CB = 2 : 3$, сводится к делению отрезка $AB$ на $2+3=5$ равных частей. Искомая точка $C$ будет являться концом второй части, если считать от точки $A$.

Построение:

1. Проведем из точки $A$ произвольный луч $l$.
2. Отложим на нем 5 равных отрезков произвольной длины, получив точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$.
3. Соединим точку $A_5$ с точкой $B$.
4. Отношение $2:3$ означает, что нам нужна точка, соответствующая концу второго отрезка на луче $l$, то есть точка $A_2$. Проведем через точку $A_2$ прямую, параллельную прямой $A_5B$.
5. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ и будет искомой точкой $C$.

По теореме Фалеса, построенная точка $C$ делит отрезок $AB$ в том же отношении, в котором точка $A_2$ делит отрезок $AA_5$. Так как $AA_2$ состоит из двух частей, а $A_2A_5$ из трех, то $AC : CB = AA_2 : A_2A_5 = 2:3$.

Ответ: Точка $C$ построена. Она делит отрезок $AB$ в отношении $2:3$.

в)

Нужно найти на прямой $AB$ точку $D$ такую, чтобы $AD : DB = 4 : 3$. Поскольку точка $D$ может лежать как на отрезке $AB$, так и вне его, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$.

В этом случае точка $D$ делит отрезок $AB$ на две части, отношение которых равно $4:3$. Значит, весь отрезок $AB$ состоит из $4+3=7$ равных частей. Точка $D$ находится на расстоянии 4 таких частей от точки $A$.

Построение:

1. Делим отрезок $AB$ на 7 равных частей, используя метод из пункта а). Для этого на вспомогательном луче из точки $A$ откладываем 7 равных отрезков ($AA_1, \dots, A_6A_7$).
2. Соединяем $A_7$ с $B$.
3. Проводим прямую через $A_4$ (четвертую точку на луче) параллельно $A_7B$.
4. Точка пересечения этой прямой с $AB$ является искомой точкой $D_1$. По теореме Фалеса, $AD_1 : D_1B = AA_4 : A_4A_7 = 4:3$.

Случай 2: Точка $D$ лежит вне отрезка $AB$.

Из условия $AD : DB = 4:3$ следует, что $AD > DB$. Это возможно только если точка $B$ лежит между $A$ и $D$. (Если бы $A$ лежала между $D$ и $B$, то $DB = DA + AB > DA$, что противоречит отношению $4:3$).

Если точки расположены в порядке $A-B-D$, то $AB = AD - DB$. Если принять длину одной пропорциональной части за $x$, то $AD=4x$ и $DB=3x$. Тогда $AB = 4x - 3x = x$. Отсюда следует, что $DB = 3 \cdot AB$.

Построение:

1. Продолжаем прямую $AB$ за точку $B$.
2. С помощью циркуля, раствор которого равен длине отрезка $AB$, откладываем от точки $B$ на продолжении прямой три отрезка подряд.
3. Конечная точка (назовем ее $D_2$) и будет искомой. Для нее $AD_2 = AB + BD_2 = AB + 3 \cdot AB = 4 \cdot AB$, а $BD_2 = 3 \cdot AB$. Следовательно, $AD_2 : BD_2 = 4:3$.

Ответ: Существует две точки, удовлетворяющие условию. Первая точка $D_1$ лежит на отрезке $AB$ и делит его в отношении $4:3$, считая от $A$. Вторая точка $D_2$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ на расстоянии $3 \cdot AB$ от точки $B$.