Номер 102, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

102. a) Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольную трапецию, если даны ее большее основание и боковые стороны.

б) Используя признаки параллелограмма, постройте: 1) отрезок, параллельный данной прямой; 2) параллелограмм, если даны три точки, являющиеся его вершинами.

а)

Пусть даны длины: $a$ — большее основание, $h$ — перпендикулярная боковая сторона, и $c$ — наклонная боковая сторона. Для того чтобы построение было возможно, необходимо, чтобы наклонная боковая сторона была не короче перпендикулярной, то есть $c \ge h$.

Порядок построения:

1. Начертим произвольную прямую и с помощью циркуля отложим на ней отрезок $AD$, равный длине $a$. Это будет большее основание трапеции.

2. В точке $A$ построим прямую, перпендикулярную прямой $AD$. На этой перпендикулярной прямой отложим отрезок $AB$, равный длине $h$. Это будет перпендикулярная боковая сторона.

3. Через точку $B$ проведем прямую $l$, параллельную прямой $AD$. Это можно сделать, построив в точке $B$ перпендикуляр к отрезку $AB$. На этой прямой $l$ будет лежать меньшее основание трапеции.

4. С центром в точке $D$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине $c$. Точка пересечения этой дуги с прямой $l$ будет четвертой вершиной трапеции — точкой $C$.

5. Соединим отрезками точки $B$ и $C$, а также $C$ и $D$.

В полученном четырехугольнике $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны, так как обе прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны отрезку $AB$. Угол $\angle A = 90^\circ$, поэтому трапеция является прямоугольной. Длины сторон $AD$, $AB$ и $CD$ равны заданным длинам $a$, $h$ и $c$ соответственно по построению. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является искомой прямоугольной трапецией.

Ответ: Построение искомой трапеции выполнено, алгоритм описан выше.

б)

1) отрезок, параллельный данной прямой;

Для построения отрезка, параллельного данной прямой и проходящего через данную точку, не лежащую на этой прямой, воспользуемся свойством параллелограмма, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

Порядок построения:

1. Пусть дана прямая $m$ и точка $P$ вне ее.

2. Выберем на прямой $m$ две произвольные точки $A$ и $B$.

3. Построим четвертую точку $Q$ таким образом, чтобы четырехугольник $ABQP$ являлся параллелограммом. Для этого измерим циркулем расстояние $AB$ и проведем дугу окружности с центром в точке $P$ и радиусом $AB$. Затем измерим расстояние $AP$ и проведем дугу с центром в точке $B$ и радиусом $AP$. Точка пересечения этих дуг и будет искомой точкой $Q$.

4. Соединим точки $P$ и $Q$. В построенном четырехугольнике $ABQP$ противоположные стороны $AB$ и $PQ$ равны, а также $AP$ и $BQ$ равны по построению. Следовательно, $ABQP$ — параллелограмм. А значит, его сторона $PQ$ параллельна стороне $AB$, которая лежит на данной прямой $m$.

Ответ: Отрезок $PQ$ построен, он параллелен данной прямой $m$.

2) параллелограмм, если даны три точки, являющиеся его вершинами.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. В зависимости от того, какие из вершин считать смежными, можно построить три различных параллелограмма. Построим один из возможных вариантов — параллелограмм $ABCD$, в котором $AB$ и $BC$ являются смежными сторонами.

Порядок построения:

1. Соединим отрезками точки $A$ и $B$, а также $B$ и $C$.

2. Для нахождения четвертой вершины $D$ воспользуемся свойством параллелограмма о равенстве противоположных сторон. В параллелограмме $ABCD$ должно выполняться $AD = BC$ и $CD = AB$.

3. Измерим циркулем длину отрезка $BC$ и проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и этим радиусом.

4. Измерим циркулем длину отрезка $AB$ и проведем дугу окружности с центром в точке $C$ и этим радиусом.

5. Точка пересечения этих двух дуг является искомой четвертой вершиной $D$.

6. Соединив последовательно точки $A, B, C, D$, получим искомый параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно равны по построению.

Ответ: Параллелограмм $ABCD$ построен по трем данным вершинам $A, B, C$.