Номер 107, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

107. a) Через середину $M$ стороны $BC$ треугольника $ABC$ проведена прямая $MN$, параллельная $BA$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $N$. На ней отложен отрезок $NK = MN$. Докажите, что $ABMK$ – параллелограмм.

б) На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $AM : MC = 4 : 5$. Построен отрезок $MN || AB$, $N \in BC$. Найдите длину отрезка $NB$, если $CB = 4,5$ см.

a) Через середину $M$ стороны $BC$ треугольника $ABC$ проведена прямая $MN$, параллельная $BA$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $N$. На ней отложен отрезок $NK = MN$. Докажите, что $ABMK$ – параллелограмм.

Решение

По условию, $M$ – середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Прямая $MN$ проведена параллельно $BA$ и пересекает $AC$ в точке $N$.

Согласно теореме о средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. Таким образом, $N$ является серединой стороны $AC$.

По свойству средней линии треугольника, длина отрезка $MN$ равна половине длины стороны $BA$, то есть $MN = \frac{1}{2} BA$.

По условию, на прямой $MN$ отложен отрезок $NK = MN$. Точка $N$ лежит между точками $M$ и $K$.

Следовательно, длина отрезка $MK$ равна сумме длин отрезков $MN$ и $NK$: $MK = MN + NK = MN + MN = 2MN$.

Подставим ранее найденное значение $MN = \frac{1}{2} BA$: $MK = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} BA\right) = BA$. Таким образом, мы получили, что $MK = BA$.

Рассмотрим четырехугольник $ABMK$. В этом четырехугольнике:

1. Стороны $MK$ и $BA$ параллельны по условию ($MN \parallel BA$, а точка $K$ лежит на прямой, содержащей отрезок $MN$).

2. Стороны $MK$ и $BA$ равны по длине, что было доказано выше ($MK = BA$).

По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны по длине, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $ABMK$ – параллелограмм.

Ответ: Доказано, что $ABMK$ – параллелограмм.

б) На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $AM : MC = 4 : 5$. Построен отрезок $MN \parallel AB$, $N \in BC$. Найдите длину отрезка $NB$, если $CB = 4,5$ см.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Точка $M$ на стороне $AC$.

Отношение $AM : MC = 4 : 5$.

Отрезок $MN \parallel AB$, при этом точка $N$ лежит на стороне $BC$.

Длина стороны $CB = 4,5$ см.

Перевод в систему СИ: $CB = 4,5$ см $= 0,045$ м.

Найти:

Длину отрезка $NB$.

Решение

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, отрезок $MN$ параллелен стороне $AB$ ($MN \parallel AB$).

Из того, что $MN \parallel AB$, следует, что треугольник $CMN$ подобен треугольнику $CAB$ по двум углам:

1. Угол $C$ является общим для обоих треугольников ($\angle CMN$ и $\triangle CAB$).

2. Углы $\angle CMN$ и $\angle CAB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AB$ и секущей $AC$.

Из подобия треугольников $\triangle CMN \sim \triangle CAB$ следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{CM}{CA} = \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{AB}$.

Нам дано отношение длин отрезков $AM$ и $MC$: $AM : MC = 4 : 5$. Пусть $AM = 4x$ и $MC = 5x$ для некоторой положительной константы $x$.

Тогда длина всей стороны $AC$ равна $AC = AM + MC = 4x + 5x = 9x$.

Найдем отношение стороны $CM$ к стороне $CA$: $\frac{CM}{CA} = \frac{5x}{9x} = \frac{5}{9}$.

Используем это отношение в пропорции, следующей из подобия треугольников: $\frac{CN}{CB} = \frac{CM}{CA} = \frac{5}{9}$.

Подставим известное значение $CB = 4,5$ см: $\frac{CN}{4,5 \text{ см}} = \frac{5}{9}$.

Вычислим длину отрезка $CN$: $CN = \frac{5}{9} \cdot 4,5 \text{ см} = \frac{5 \cdot 45}{9 \cdot 10} \text{ см} = \frac{5 \cdot 5}{10} \text{ см} = \frac{25}{10} \text{ см} = 2,5 \text{ см}$.

Теперь, чтобы найти длину отрезка $NB$, мы вычтем длину $CN$ из общей длины $CB$: $NB = CB - CN$.

$NB = 4,5 \text{ см} - 2,5 \text{ см} = 2,0 \text{ см}$.

Ответ: $NB = 2,0$ см.