Номер 105, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

105.

a) Отрезок $AB$, равный 98 см, разделен на три отрезка, пропорциональных числам: 1) 2; 4; 8; 2) 3; 4; 5. Найдите длину каждого отрезка.

б) На отрезке $AC = d$ отмечена точка $B$ такая, что $AB : BC = x : y$. Выразите длины отрезков $AB$ и $BC$ через $d, x$ и $y$.

в) Отрезок $AN$ - биссектриса $\triangle ABC$ со сторонами $AB = 12$ см, $BC = 22$ см, $AC = 21$ см. Найдите $BN$ и $NC$.

а)

Задача состоит в том, чтобы разделить отрезок длиной 98 см на три части, длины которых пропорциональны заданным числам. Для этого введем коэффициент пропорциональности $k$. Сумма длин всех частей должна быть равна 98 см.

1) Длины отрезков пропорциональны числам 2; 4; 8.
Пусть длины отрезков равны $2k$, $4k$ и $8k$.
Составим уравнение, исходя из общей длины отрезка:
$2k + 4k + 8k = 98$
$14k = 98$
$k = 98 / 14$
$k = 7$
Теперь найдем длины каждого отрезка:
Первый отрезок: $2k = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Второй отрезок: $4k = 4 \cdot 7 = 28$ см.
Третий отрезок: $8k = 8 \cdot 7 = 56$ см.

2) Длины отрезков пропорциональны числам 3; 4; 5.
Пусть длины отрезков равны $3k$, $4k$ и $5k$.
Составим уравнение:
$3k + 4k + 5k = 98$
$12k = 98$
$k = 98 / 12 = 49 / 6$
Теперь найдем длины каждого отрезка:
Первый отрезок: $3k = 3 \cdot (49/6) = 49/2 = 24.5$ см.
Второй отрезок: $4k = 4 \cdot (49/6) = 2 \cdot 49 / 3 = 98/3$ см.
Третий отрезок: $5k = 5 \cdot (49/6) = 245/6$ см.

Ответ: 1) 14 см, 28 см, 56 см; 2) 24,5 см, $98/3$ см, $245/6$ см.

б)

Дано, что точка $B$ лежит на отрезке $AC$, поэтому длина всего отрезка $AC$ равна сумме длин его частей $AB$ и $BC$.
$AB + BC = AC = d$
Также дано отношение длин отрезков $AB : BC = x : y$.
Это означает, что мы можем выразить длины отрезков через коэффициент пропорциональности $k$:
$AB = kx$
$BC = ky$
Подставим эти выражения в первое уравнение:
$kx + ky = d$
Вынесем $k$ за скобки:
$k(x + y) = d$
Отсюда найдем коэффициент пропорциональности $k$:
$k = \frac{d}{x+y}$
Теперь выразим длины отрезков $AB$ и $BC$ через $d$, $x$ и $y$, подставив найденное значение $k$:
$AB = kx = \frac{d}{x+y} \cdot x = \frac{dx}{x+y}$
$BC = ky = \frac{d}{x+y} \cdot y = \frac{dy}{x+y}$

Ответ: $AB = \frac{dx}{x+y}$, $BC = \frac{dy}{x+y}$.

в)

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
В треугольнике $\triangle ABC$ биссектриса $AN$ делит сторону $BC$ на отрезки $BN$ и $NC$. Согласно свойству биссектрисы:
$\frac{BN}{NC} = \frac{AB}{AC}$
Нам даны длины сторон: $AB = 12$ см, $AC = 21$ см, $BC = 22$ см.
Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{BN}{NC} = \frac{12}{21}$
Сократим дробь: $\frac{12}{21} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{4}{7}$.
Таким образом, $BN : NC = 4 : 7$.
Пусть $BN = 4k$ и $NC = 7k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
Мы знаем, что точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BN + NC = BC$.
$4k + 7k = 22$
$11k = 22$
$k = 2$
Теперь найдем длины отрезков $BN$ и $NC$:
$BN = 4k = 4 \cdot 2 = 8$ см.
$NC = 7k = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Ответ: $BN = 8$ см, $NC = 14$ см.