Номер 111, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

111. Найдите периметр прямоугольника, вписанного в равнобедренный прямоугольный треугольник, если:

а) катет треугольника 6 см (рисунок 67, а);

б) гипотенуза треугольника равна 45 см (рисунок 67, б).

Рисунок 67

a) катет треугольника 6 см (рисунок 67, а)

Дано:

Треугольник $ABC$ - равнобедренный прямоугольный ($ \angle A = 90^\circ $, $ AB = AC $)

Длина катета $AB = AC = 6$ см.

Прямоугольник $AMNK$ вписан в треугольник $ABC$, где $A$ - вершина прямоугольника, $M$ лежит на $AB$, $K$ на $AC$, $N$ на $BC$.

Перевод в СИ:

$AB = AC = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Периметр прямоугольника $P_{AMNK}$

Решение:

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным с прямым углом $A$, углы при гипотенузе равны $45^\circ$. То есть, $ \angle B = \angle C = 45^\circ $.

Пусть $AM = x$ и $AK = y$ - длины сторон прямоугольника $AMNK$.

Периметр прямоугольника $P_{AMNK} = 2(x + y)$.

Рассмотрим треугольник $BMN$. Поскольку $AMNK$ - прямоугольник, $ \angle AMN = 90^\circ $. Угол $ \angle B = 45^\circ $. Сумма углов в треугольнике $BMN$ равна $180^\circ$, поэтому $ \angle MNB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, треугольник $BMN$ является равнобедренным прямоугольным, и $MB = MN$. Так как $MN = AK$ (противоположные стороны прямоугольника) и $AK = y$, то $MB = y$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $CNK$. Поскольку $AMNK$ - прямоугольник, $ \angle AKN = 90^\circ $. Угол $ \angle C = 45^\circ $. Сумма углов в треугольнике $CNK$ равна $180^\circ$, поэтому $ \angle KNC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, треугольник $CNK$ является равнобедренным прямоугольным, и $KC = NK$. Так как $NK = AM$ (противоположные стороны прямоугольника) и $AM = x$, то $KC = x$.

Длина катета $AC$ треугольника $ABC$ складывается из отрезков $AK$ и $KC$: $AC = AK + KC$. Подставляя значения, получаем $AC = y + x$.

По условию задачи, длина катета $AC = 6$ см. Следовательно, $x + y = 6$ см.

Подставляем это значение в формулу для периметра прямоугольника: $P_{AMNK} = 2(x + y) = 2(6) = 12$ см.

Ответ: 12 см

б) гипотенуза треугольника равна 45 см (рисунок 67, б)

Дано:

Треугольник $DEF$ - равнобедренный прямоугольный ($ \angle D = 90^\circ $, $ DE = DF $)

Длина гипотенузы $EF = 45$ см.

Прямоугольник $SQPT$ вписан в треугольник $DEF$, где $S$ лежит на $DE$, $T$ на $DF$, $Q$ и $P$ на $EF$.

Перевод в СИ:

$EF = 45 \text{ см} = 0.45 \text{ м}$

Найти:

Периметр прямоугольника $P_{SQPT}$

Решение:

Поскольку треугольник $DEF$ является равнобедренным прямоугольным с прямым углом $D$, углы при гипотенузе равны $45^\circ$. То есть, $ \angle E = \angle F = 45^\circ $.

Пусть $SQ = PT = h$ (высота прямоугольника) и $QP = ST = b$ (основание прямоугольника).

Периметр прямоугольника $P_{SQPT} = 2(b + h)$.

Рассмотрим треугольник $ESQ$. Он является прямоугольным с прямым углом при $Q$ (поскольку $SQ$ перпендикулярна $EF$). Так как $ \angle E = 45^\circ $, то $ \angle ESQ = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, треугольник $ESQ$ является равнобедренным прямоугольным, и $EQ = SQ = h$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $TFP$. Он является прямоугольным с прямым углом при $P$ (поскольку $TP$ перпендикулярна $EF$). Так как $ \angle F = 45^\circ $, то $ \angle FTP = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, треугольник $TFP$ является равнобедренным прямоугольным, и $FP = TP = h$.

Длина гипотенузы $EF$ треугольника $DEF$ складывается из отрезков $EQ$, $QP$ и $PF$: $EF = EQ + QP + PF$.

Подставляя известные значения, получаем $EF = h + b + h = 2h + b$.

По условию задачи, $EF = 45$ см. Следовательно, $2h + b = 45$.

Выразим $b$ через $h$: $b = 45 - 2h$.

Теперь подставим это выражение для $b$ в формулу периметра прямоугольника: $P_{SQPT} = 2(b + h) = 2((45 - 2h) + h) = 2(45 - h)$.

Периметр прямоугольника зависит от его высоты $h$. Поскольку в задаче не указаны дополнительные условия (например, максимальная площадь или что прямоугольник является квадратом), для получения уникального ответа обычно предполагается, что вписанный прямоугольник является квадратом (наиболее симметричный случай, часто подразумеваемый в таких задачах, когда иное не указано).

Предположим, что прямоугольник $SQPT$ является квадратом, то есть его стороны равны: $h = b$.

Подставим $h = b$ в уравнение $2h + b = 45$: $2h + h = 45 \implies 3h = 45 \implies h = 15$ см.

Тогда $b = 15$ см.

Периметр квадрата: $P_{SQPT} = 2(15 + 15) = 2(30) = 60$ см.

Ответ: 60 см