Номер 117, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

117. Дана трапеция с основаниями 5 см и 14 см. Разделите одну из боковых сторон на 3 равные части и из точек деления проведите к другой боковой стороне отрезки, параллельные основанию. Найдите длины этих отрезков.

Дано:

Трапеция с основаниями $b_1 = 5 \text{ см}$ и $b_2 = 14 \text{ см}$.

Одна из боковых сторон разделена на $n = 3$ равные части.

Из точек деления проведены отрезки, параллельные основаниям.

Перевод в СИ:

$b_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$b_2 = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

Найти:

Длины этих отрезков ($L_1$, $L_2$).

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями BC и AD, где $BC = b_1 = 5 \text{ см}$ (меньшее основание) и $AD = b_2 = 14 \text{ см}$ (большее основание). Пусть боковая сторона AB разделена на три равные части точками P и Q, так что AP = PQ = QB.

Из точек P и Q проведены отрезки PR и QS, параллельные основаниям (точки R и S лежат на другой боковой стороне CD).

Для нахождения длин этих отрезков воспользуемся свойством отрезков, параллельных основаниям трапеции и проходящих через точки, делящие боковую сторону на равные части. Если боковая сторона трапеции разделена на $n$ равных частей, то длины отрезков, параллельных основаниям и проведенных через эти точки, образуют арифметическую прогрессию.

Длина $k$-го отрезка $L_k$ (считая от меньшего основания) может быть найдена по формуле:

$L_k = b_1 + k \cdot \frac{b_2 - b_1}{n}$

В нашем случае, $b_1 = 5 \text{ см}$, $b_2 = 14 \text{ см}$, и боковая сторона разделена на $n = 3$ равные части. Нам нужно найти длины двух отрезков, соответствующих $k=1$ и $k=2$.

1. Длина первого отрезка $L_1$ (который находится ближе к меньшему основанию, для него $k=1$):

$L_1 = 5 + 1 \cdot \frac{14 - 5}{3} = 5 + \frac{9}{3} = 5 + 3 = 8 \text{ см}$

2. Длина второго отрезка $L_2$ (который находится ближе к большему основанию, для него $k=2$):

$L_2 = 5 + 2 \cdot \frac{14 - 5}{3} = 5 + 2 \cdot \frac{9}{3} = 5 + 6 = 11 \text{ см}$

Это свойство легко доказывается, если провести через одну из вершин трапеции (например, вершину меньшего основания) прямую, параллельную одной из боковых сторон. Тогда трапеция разобьется на параллелограмм и треугольник. Длины частей отрезков, лежащих в треугольнике, будут находиться как соответствующие отрезки в подобных треугольниках, а общая длина будет складываться из постоянной части (длины меньшего основания) и меняющейся части, образующей арифметическую прогрессию.

Ответ:

Длины отрезков составляют $8 \text{ см}$ и $11 \text{ см}$.