Практическое задание, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Постройте тупоугольный треугольник и все его высоты. Что вы можете сказать о взаимном расположении прямых, содержащих эти высоты?

Для решения этой задачи выполним два шага: сначала построим тупоугольный треугольник и его высоты, а затем проанализируем взаимное расположение прямых, содержащих эти высоты.

Построение тупоугольного треугольника и его высот

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов больше $90^\circ$. Построим треугольник $ABC$, в котором угол $\angle B$ — тупой. Теперь построим все три его высоты.

Высота, опущенная из вершины тупого угла $B$ на сторону $AC$, обозначается $BH_b$. Так как углы $A$ и $C$ острые, основание этой высоты, точка $H_b$, будет лежать непосредственно на отрезке $AC$. Таким образом, эта высота находится внутри треугольника.

Высота, опущенная из вершины острого угла $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$, обозначается $AH_a$. Поскольку угол $B$ тупой, перпендикуляр из $A$ не может попасть на сам отрезок $BC$. Он опускается на продолжение стороны $BC$ за вершину $B$. Следовательно, высота $AH_a$ находится вне треугольника.

Аналогично, высота из вершины острого угла $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$, обозначается $CH_c$. Она также опускается на продолжение стороны $AB$ за вершину $B$ и, соответственно, находится вне треугольника.

Что можно сказать о взаимном расположении прямых, содержащих эти высоты

Теперь рассмотрим прямые, на которых лежат построенные высоты: прямая $AH_a$, прямая $BH_b$ и прямая $CH_c$. Согласно фундаментальной теореме геометрии, три прямые, содержащие высоты любого треугольника, всегда пересекаются в одной-единственной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Как видно из построения, для тупоугольного треугольника эта точка пересечения (ортоцентр, обозначенный на рисунке как $O$) всегда будет находиться вне самого треугольника.

Ответ: Прямые, содержащие все три высоты тупоугольного треугольника, пересекаются в одной точке (называемой ортоцентром), которая для такого типа треугольников всегда расположена вне его пределов.