Номер 127, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

127. Серединные перпендикуляры к сторонам $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, лежащей на стороне $AB$.

Докажите, что:

а) $AO = OB$;

б) $\angle C = \angle A + \angle B$.

Дано:

треугольник $ABC$.

Серединные перпендикуляры к сторонам $AC$ и $BC$ пересекаются в точке $O$.

Точка $O$ лежит на стороне $AB$.

Найти:

Доказать: а) $AO = OB$; б) $\angle C = \angle A + \angle B$.

Решение:

По определению, серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Ключевое свойство серединного перпендикуляра состоит в том, что любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Точка $O$ является пересечением серединных перпендикуляров к двум сторонам треугольника $ABC$. Это означает, что $O$ является центром описанной окружности для треугольника $ABC$.

а) $AO = OB$

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, то расстояние от $O$ до вершины $A$ равно расстоянию от $O$ до вершины $C$. То есть, $OA = OC$.

Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, то расстояние от $O$ до вершины $B$ равно расстоянию от $O$ до вершины $C$. То есть, $OB = OC$.

Из равенств $OA = OC$ и $OB = OC$ следует, что $OA = OB = OC$.

Таким образом, мы доказали, что $AO = OB$. Это также означает, что точка $O$ является серединой стороны $AB$, и поскольку $O$ является центром описанной окружности, сторона $AB$ является диаметром этой окружности.

Ответ: Доказано, что $AO = OB$.

б) $\angle C = \angle A + \angle B$

Из пункта а) мы знаем, что $OA = OC$. Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OAC = \angle OCA$. Так как $\angle OAC$ является углом $\angle A$ треугольника $ABC$, то $\angle OCA = \angle A$.

Также из пункта а) мы знаем, что $OB = OC$. Это означает, что треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OBC = \angle OCB$. Так как $\angle OBC$ является углом $\angle B$ треугольника $ABC$, то $\angle OCB = \angle B$.

Угол $\angle C$ треугольника $ABC$ состоит из суммы двух углов: $\angle OCA$ и $\angle OCB$.

Тогда $\angle C = \angle OCA + \angle OCB$.

Подставляя ранее полученные равенства для $\angle OCA$ и $\angle OCB$, получаем: $\angle C = \angle A + \angle B$.

Это соотношение также подтверждает, что угол $\angle C$ является прямым, так как только в этом случае сумма двух других углов будет равна $90^\circ$, что и составляет $\angle C$ (в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, гипотенуза является диаметром, а угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$).

Ответ: Доказано, что $\angle C = \angle A + \angle B$.