Номер 124, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

124.

a) Точка $O$ – центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности. Найдите $\angle C$ треугольника, если $\angle AOB = 128^\circ$.

б) Высота равностороннего треугольника равна 4,2 см. Найдите расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника до его стороны.

a)

Дано:

Точка $O$ - центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности.

$\angle AOB = 128^\circ$.

Найти:

$\angle C$.

Решение:

Так как точка $O$ - центр вписанной окружности, она является точкой пересечения биссектрис треугольника. Следовательно, $AO$ - биссектриса $\angle A$, а $BO$ - биссектриса $\angle B$.

Рассмотрим $\triangle AOB$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$.

Подставим известные значения и выразим углы через углы треугольника $ABC$:

$\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} + 128^\circ = 180^\circ$.

$\frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^\circ - 128^\circ$.

$\frac{\angle A + \angle B}{2} = 52^\circ$.

$\angle A + \angle B = 2 \cdot 52^\circ$.

$\angle A + \angle B = 104^\circ$.

Сумма углов в $\triangle ABC$ также равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим найденное значение $\angle A + \angle B$:

$104^\circ + \angle C = 180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - 104^\circ$.

$\angle C = 76^\circ$.

Ответ: $76^\circ$.

б)

Дано:

Равносторонний треугольник.

Высота $h = 4.2 \, \text{см}$.

Перевод в СИ:

$h = 4.2 \, \text{см} = 0.042 \, \text{м}$.

Найти:

Расстояние от точки пересечения биссектрис до его стороны (радиус вписанной окружности $r$).

Решение:

В равностороннем треугольнике точка пересечения биссектрис (инцентр) совпадает с точкой пересечения медиан (центроид) и высот (ортоцентр).

Высота равностороннего треугольника также является его медианой.

Центроид делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Расстояние от центроида до стороны равно одной трети длины медианы (высоты).

Расстояние от точки пересечения биссектрис до стороны треугольника является радиусом вписанной окружности, $r$.

Таким образом, $r = \frac{1}{3}h$.

$r = \frac{1}{3} \cdot 4.2 \, \text{см}$.

$r = 1.4 \, \text{см}$.

Ответ: $1.4 \, \text{см}$.