Номер 130, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

130.

а) Постройте треугольник по данным его стороне $a$ и медианам $m$ и $n$, проведенным к двум другим сторонам.

б) Бексултан построил треугольник $ABC$ и в нем точку $O$ пересечения медиан. Затем он оставил от этого треугольника только точки $A$, $B$, $O$ и предложил Салтанат восстановить треугольник. Она с задачей успешно справилась. Как она это сделала?

в) Малика построила треугольник $ABC$, середины $M$ и $N$ его сторон $AC$ и $BC$ соответственно и точку $K$ пересечения отрезков $AN$ и $BM$. Затем она оставила от этого треугольника только точки $M$, $N$, $K$ и предложила Ержану восстановить треугольник. Как он может решить эту задачу?

а) Постройте треугольник по данным его стороне a и медианам m и n, проведенным к двум другим сторонам.

Дано: Сторона $a$, медианы $m$ и $n$.

Найти: Построить треугольник $ABC$.

Решение:

1. Построить отрезок $BC$ длиной $a$.
2. Из вершины $B$ провести дугу окружности радиусом $\$\frac{2}{3}m\$$.
3. Из вершины $C$ провести дугу окружности радиусом $\$\frac{2}{3}n\$$.
4. Точку пересечения этих дуг обозначить $O$. Точка $O$ является центроидом (точкой пересечения медиан) искомого треугольника.
5. Найти середину $D$ отрезка $BC$.
6. Провести луч $DO$.
7. На луче $DO$ отложить от точки $O$ отрезок $OA'$, равный $2 \cdot OD$, так, чтобы $O$ находилась между $D$ и $A'$. Точка $A'$ является третьей вершиной $A$ искомого треугольника.
8. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник построен.

б) Бексултан построил треугольник ABC и в нем точку O пересечения медиан. Затем он оставил от этого треугольника только точки A, B, O и предложил Салтанат восстановить треугольник. Она с задачей успешно справилась. Как она это сделала?

Дано: Вершины $A, B$ и центроид $O$ треугольника $ABC$.

Найти: Восстановить треугольник $ABC$ (найти вершину $C$).

Решение:

1. Найти середину $M$ отрезка $AB$.
2. Провести луч $MO$ (линию, проходящую через $M$ и $O$).
3. На луче $MO$ отложить от точки $O$ отрезок $OC'$, равный $2 \cdot MO$, так, чтобы $O$ находилась между $M$ и $C'$. Точка $C'$ является искомой вершиной $C$. Это следует из свойства центроида, который делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
4. Соединить точки $A$, $B$ и $C'$. Полученный треугольник $ABC'$ — искомый.

Ответ: Треугольник восстановлен.

в) Малика построила треугольник ABC, середины M и N его сторон AC и BC соответственно и точку K пересечения отрезков AN и BM. Затем она оставила от этого треугольника только точки M, N, K и предложила Ержану восстановить треугольник. Как он может решить эту задачу?

Дано: Середины $M$ и $N$ сторон $AC$ и $BC$ соответственно, и точка $K$ пересечения отрезков $AN$ и $BM$.

Найти: Восстановить треугольник $ABC$ (найти вершины $A, B, C$).

Решение:

1. Точки $AN$ и $BM$ являются медианами треугольника $ABC$, так как $N$ — середина $BC$ и $M$ — середина $AC$. Следовательно, точка $K$ является центроидом (точкой пересечения медиан) треугольника $ABC$.
2. Провести луч $NK$ (линию, проходящую через $N$ и $K$).
3. На луче $NK$ отложить от точки $K$ отрезок $KA'$, равный $2 \cdot NK$, так, чтобы $K$ находилась между $N$ и $A'$. Точка $A'$ является вершиной $A$ искомого треугольника. Это следует из свойства центроида, который делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
4. Провести луч $MK$ (линию, проходящую через $M$ и $K$).
5. На луче $MK$ отложить от точки $K$ отрезок $KB'$, равный $2 \cdot MK$, так, чтобы $K$ находилась между $M$ и $B'$. Точка $B'$ является вершиной $B$ искомого треугольника. Это также следует из свойства центроида.
6. Теперь, имея вершины $A'$ и $B'$, а также середину $M$ стороны $A'C$, можно найти вершину $C$. Для этого провести луч $A'M$. На этом луче отложить от точки $M$ отрезок $MC'$, равный $A'M$, так, чтобы $M$ находилась между $A'$ и $C'$. То есть, точка $C'$ является симметричной точке $A'$ относительно $M$. (Аналогично, можно использовать точку $N$: $C'$ является симметричной точке $B'$ относительно $N$).
7. Соединить точки $A'$, $B'$ и $C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ — искомый.

Ответ: Треугольник восстановлен.