Номер 135, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

135. Дан выпуклый четырехугольник. Выясните, при каких условиях четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника, будет:

а) прямоугольником;

б) ромбом;

в) квадратом.

Дано: Выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точки $P$, $Q$, $R$, $S$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно.

Найти: Условия, при которых четырехугольник $PQRS$ будет:

a) прямоугольником;

б) ромбом;

в) квадратом.

Решение:

Рассмотрим данный выпуклый четырехугольник $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$. Точки $P$, $Q$, $R$, $S$ являются серединами его сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно.

Согласно теореме Вариньона, четырехугольник $PQRS$, вершины которого являются серединами сторон произвольного четырехугольника, всегда является параллелограммом.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством средней линии треугольника:

• В треугольнике $ABC$ отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $PQ$ является средней линией $\triangle ABC$, а значит, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.
• В треугольнике $ADC$ отрезок $SR$ соединяет середины сторон $DA$ и $CD$. Следовательно, $SR$ является средней линией $\triangle ADC$, а значит, $SR \parallel AC$ и $SR = \frac{1}{2}AC$.
• Из этих двух утверждений следует, что $PQ \parallel SR$ и $PQ = SR$.
• Аналогично, в треугольнике $ABD$ отрезок $PS$ соединяет середины сторон $AB$ и $DA$. Следовательно, $PS \parallel BD$ и $PS = \frac{1}{2}BD$.
• И в треугольнике $BCD$ отрезок $QR$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$. Следовательно, $QR \parallel BD$ и $QR = \frac{1}{2}BD$.
• Из этих двух утверждений следует, что $PS \parallel QR$ и $PS = QR$.

Так как обе пары противоположных сторон четырехугольника $PQRS$ параллельны и равны, $PQRS$ действительно является параллелограммом.

Теперь рассмотрим условия, при которых этот параллелограмм $PQRS$ будет обладать заданными свойствами:

а) прямоугольником

Параллелограмм является прямоугольником, если его смежные стороны перпендикулярны. То есть, для $PQRS$ необходимо, чтобы $PQ \perp PS$.

Мы знаем, что $PQ \parallel AC$ и $PS \parallel BD$. Если $PQ \perp PS$, то линии, которым они параллельны, также должны быть перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

Ответ: Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника, будет прямоугольником, если диагонали данного четырехугольника перпендикулярны.

б) ромбом

Параллелограмм является ромбом, если все его стороны равны. То есть, для $PQRS$ необходимо, чтобы $PQ = PS$.

Мы знаем, что $PQ = \frac{1}{2}AC$ и $PS = \frac{1}{2}BD$.

Условие $PQ = PS$ означает, что $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$, что равносильно $AC = BD$.

Ответ: Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника, будет ромбом, если диагонали данного четырехугольника равны.

в) квадратом

Квадрат - это параллелограмм, который одновременно является и прямоугольником, и ромбом.

Для того чтобы $PQRS$ был прямоугольником (по пункту а)), диагонали исходного четырехугольника $ABCD$ должны быть перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Для того чтобы $PQRS$ был ромбом (по пункту б)), диагонали исходного четырехугольника $ABCD$ должны быть равны: $AC = BD$.

Следовательно, для того чтобы $PQRS$ был квадратом, оба эти условия должны выполняться одновременно.

Ответ: Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника, будет квадратом, если диагонали данного четырехугольника равны и перпендикулярны.