Номер 140, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

140. В прямоугольном $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 6$ см, $AC = 4$ см, $MN$ – средняя линия треугольника ($M \in AB, N \in CB$). Найдите косинус:

а) $\angle A$;

б) $\angle NMB$.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ \triangle ABC $

$ \angle C = 90^\circ $

$ AB = 6 $ см

$ AC = 4 $ см

$ MN $ - средняя линия треугольника ($ M \in AB $, $ N \in CB $)

Перевод в СИ:

$ AB = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м} $

$ AC = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м} $

Найти:

а) $ \cos \angle A $

б) $ \cos \angle NMB $

Решение:

а) $ \angle A $

В прямоугольном треугольнике $ \triangle ABC $ косинус угла $ A $ определяется как отношение длины прилежащего катета $ AC $ к длине гипотенузы $ AB $.

$ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

$ \cos A = \frac{AC}{AB} $

Подставим заданные значения:

$ \cos A = \frac{4 \text{ см}}{6 \text{ см}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \cos \angle A = \frac{2}{3} $

б) $ \angle NMB $

По условию, $ MN $ является средней линией треугольника $ \triangle ABC $. Точка $ M $ лежит на стороне $ AB $, а точка $ N $ лежит на стороне $ CB $.

По определению, средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне. Так как $ M \in AB $ и $ N \in CB $, то $ MN $ является средней линией, соединяющей середины сторон $ AB $ и $ CB $, и параллельна стороне $ AC $.

$ MN \parallel AC $

Рассмотрим прямые $ MN $ и $ AC $, которые параллельны. Прямая $ AB $ является секущей для этих двух параллельных прямых. Углы $ \angle NMB $ и $ \angle CAB $ (или $ \angle A $) являются соответственными углами.

При пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

Следовательно, $ \angle NMB = \angle CAB = \angle A $.

Отсюда следует, что косинус угла $ \angle NMB $ равен косинусу угла $ \angle A $.

$ \cos \angle NMB = \cos \angle A $

Из решения пункта а) мы знаем, что $ \cos \angle A = \frac{2}{3} $.

Таким образом,

$ \cos \angle NMB = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \cos \angle NMB = \frac{2}{3} $