Номер 144, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

144. В прямоугольном $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 20$ см, $AC = 16$ см, $CB = 12$ см. Найдите:

а) косинус меньшего острого угла;

б) сумму квадратов косинусов острых углов.

Дано

Прямоугольный треугольник $ABC$:

$\angle C = 90^\circ$

$AB = 20 \text{ см}$

$AC = 16 \text{ см}$

$CB = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ

$AB = 0.20 \text{ м}$

$AC = 0.16 \text{ м}$

$CB = 0.12 \text{ м}$

Найти:

а) косинус меньшего острого угла

б) сумму квадратов косинусов острых углов

Решение

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Острые углы в треугольнике $ABC$ это $\angle A$ и $\angle B$.

a) косинус меньшего острого угла

В прямоугольном треугольнике меньший острый угол лежит напротив меньшего катета. Сравним длины катетов: $AC = 16 \text{ см}$ и $CB = 12 \text{ см}$. Так как $CB < AC$, то меньшим острым углом является угол, лежащий напротив катета $CB$, то есть $\angle A$.

Для угла $A$ прилежащий катет — $AC$, а гипотенуза — $AB$.

Вычислим косинус угла $A$: $ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{16 \text{ см}}{20 \text{ см}} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8 $

Ответ: $0.8$

б) сумму квадратов косинусов острых углов

Найдем косинусы обоих острых углов: $\angle A$ и $\angle B$.

Косинус угла $A$ уже найден в пункте а): $ \cos A = 0.8 $.

Для угла $B$ прилежащий катет — $CB$, а гипотенуза — $AB$.

Вычислим косинус угла $B$: $ \cos B = \frac{CB}{AB} = \frac{12 \text{ см}}{20 \text{ см}} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6 $

Теперь найдем квадраты этих косинусов:

$ \cos^2 A = (0.8)^2 = 0.64 $

$ \cos^2 B = (0.6)^2 = 0.36 $

Найдем их сумму:

$ \cos^2 A + \cos^2 B = 0.64 + 0.36 = 1 $

Можно также отметить, что в прямоугольном треугольнике острые углы $A$ и $B$ являются дополнительными ($A + B = 90^\circ$). Из свойств тригонометрических функций дополнительных углов известно, что $\cos A = \sin B$ и $\cos B = \sin A$. Тогда сумма квадратов косинусов острых углов будет равна $ \cos^2 A + \cos^2 B = \sin^2 B + \cos^2 B $. По основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, следовательно, $ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 $.

Ответ: $1$