Номер 147, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

147. a) На стороне $AB$ острого угла $BAC$ отложен отрезок $AK$, равный 10 см, и отмечена его середина – точка $M$. Проекция отрезка $MK$ на прямую $AC$ равна 3 см. Найдите косинус угла $BAC$.

б) Отрезок $AB$ длиной 12 см разделен точками $M$ и $N$ на три равные части. Проекция отрезка $MN$ на луч $AC$ равна 2 см. Найдите косинус угла $BAC$.

в) На каждой из сторон квадрата $MNPK$ с периметром 40 см построены равносторонние треугольники, не имеющие с ним общих внутренних точек. Найдите (с точностью до 0,1 см) периметр четырехугольника $ABCD$, вершинами которого являются третьи вершины этих треугольников.

a)

Дано:

Длина отрезка $AK = 10$ см.
Точка $M$ - середина $AK$.
Проекция отрезка $MK$ на прямую $AC$ равна 3 см.

Перевод в СИ:

$AK = 0.1$ м.
Проекция $MK$ на $AC = 0.03$ м.

Найти:

$\cos(\angle BAC)$.

Решение:

Пусть $\alpha = \angle BAC$.
Так как точка $M$ является серединой отрезка $AK$, то длина отрезка $MK$ равна половине длины отрезка $AK$:
$MK = \frac{AK}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5$ см.
Проекция отрезка на прямую равна произведению длины отрезка на косинус угла между отрезком и прямой, на которую он проецируется. В данном случае, точки $A, M, K$ лежат на одной прямой $AB$. Проекция отрезка $MK$ на прямую $AC$ есть длина проекции, которая определяется как $MK \cdot \cos(\angle BAC)$.
По условию задачи, проекция отрезка $MK$ на прямую $AC$ равна 3 см.
Таким образом, мы можем составить уравнение:
$5 \cdot \cos(\angle BAC) = 3$
Отсюда находим косинус угла $BAC$:
$\cos(\angle BAC) = \frac{3}{5} = 0.6$.

Ответ: $0.6$

б)

Дано:

Длина отрезка $AB = 12$ см.
Точки $M$ и $N$ делят $AB$ на три равные части.
Проекция отрезка $MN$ на луч $AC$ равна 2 см.

Перевод в СИ:

$AB = 0.12$ м.
Проекция $MN$ на $AC = 0.02$ м.

Найти:

$\cos(\angle BAC)$.

Решение:

Так как точки $M$ и $N$ делят отрезок $AB$ на три равные части, то длина каждой из этих частей равна $\frac{AB}{3}$.
Следовательно, длина отрезка $MN$ равна:
$MN = \frac{AB}{3} = \frac{12 \text{ см}}{3} = 4$ см.
Проекция отрезка $MN$ на луч $AC$ равна произведению длины отрезка $MN$ на косинус угла между прямой, на которой лежит $MN$ (то есть $AB$), и лучом $AC$. Этот угол и есть $\angle BAC$.
По условию задачи, проекция отрезка $MN$ на луч $AC$ равна 2 см.
Составляем уравнение:
$MN \cdot \cos(\angle BAC) = 2$
Подставляем известное значение $MN$:
$4 \cdot \cos(\angle BAC) = 2$
Отсюда находим косинус угла $BAC$:
$\cos(\angle BAC) = \frac{2}{4} = 0.5$.

Ответ: $0.5$

в)

Дано:

Квадрат $MNPK$ с периметром $P_{MNPK} = 40$ см.
На каждой стороне квадрата построены равносторонние треугольники, не имеющие с ним общих внутренних точек.
Вершины $A, B, C, D$ - третьи вершины этих треугольников.

Перевод в СИ:

$P_{MNPK} = 0.4$ м.

Найти:

Периметр четырехугольника $ABCD$ (с точностью до 0,1 см).

Решение:

1. Найдем длину стороны квадрата $MNPK$.
Периметр квадрата равен $4 \cdot \text{сторона}$. Пусть $s$ - длина стороны квадрата.
$P_{MNPK} = 4s$
$40 \text{ см} = 4s \Rightarrow s = \frac{40}{4} = 10$ см.
Таким образом, каждая сторона квадрата равна 10 см.

2. Равносторонние треугольники, построенные на сторонах квадрата, имеют стороны длиной 10 см. Например, на стороне $MN$ построен равносторонний треугольник $AMN$, где $A$ - его третья вершина. Следовательно, $AM = AN = MN = 10$ см. Аналогично для треугольников $BNP$, $CPK$, $DKM$, все их стороны также равны 10 см.

3. Определим длину стороны четырехугольника $ABCD$. Рассмотрим сторону $AB$. Она является стороной треугольника $ANB$.
Длины отрезков $AN = 10$ см (сторона $\triangle AMN$) и $NB = 10$ см (сторона $\triangle BNP$).
Угол $\angle MNP$ квадрата равен $90^\circ$.
Угол $\angle ANM$ равностороннего треугольника $AMN$ равен $60^\circ$.
Угол $\angle BNP$ равностороннего треугольника $BNP$ равен $60^\circ$.
Поскольку треугольники построены наружу, угол $\angle ANB$ (угол, образованный отрезками $AN$ и $BN$ при вершине $N$) равен сумме углов, образующих полный круг за вычетом углов треугольников и квадрата:
$\angle ANB = 360^\circ - (\angle ANM + \angle MNP + \angle PNB) = 360^\circ - (60^\circ + 90^\circ + 60^\circ) = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ$.
Теперь в треугольнике $ANB$ известны две стороны $AN=10$, $NB=10$ и угол между ними $\angle ANB = 150^\circ$. Найдем длину стороны $AB$ по теореме косинусов:
$AB^2 = AN^2 + NB^2 - 2 \cdot AN \cdot NB \cdot \cos(\angle ANB)$
$AB^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(150^\circ)$
Мы знаем, что $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$AB^2 = 100 + 100 - 200 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$AB^2 = 200 + 100\sqrt{3}$
$AB = \sqrt{200 + 100\sqrt{3}} = \sqrt{100(2 + \sqrt{3})} = 10\sqrt{2 + \sqrt{3}}$.

4. Упростим выражение $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$. Используем формулу для вложенных радикалов: $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2-B}}{2}}$.
Для $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$: $A=2$, $B=3$.
$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2^2-3}}{2}} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2^2-3}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{4-3}}{2}} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{4-3}}{2}}$
$= \sqrt{\frac{2 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$.
Тогда длина стороны $AB$ равна:
$AB = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = 10 \cdot \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$.

5. Из-за полной симметрии построения, все стороны четырехугольника $ABCD$ будут равны: $AB = BC = CD = DA$. Также, за счет симметрии, все углы четырехугольника $ABCD$ будут прямыми, что означает, что $ABCD$ является квадратом.

6. Вычислим периметр четырехугольника $ABCD$:
$P_{ABCD} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 5\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) = 20\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$.
Теперь вычислим числовое значение, используя приближенные значения $\sqrt{2} \approx 1.41421$ и $\sqrt{3} \approx 1.73205$:
$P_{ABCD} \approx 20 \cdot 1.41421 \cdot (1.73205 + 1)$
$P_{ABCD} \approx 20 \cdot 1.41421 \cdot 2.73205$
$P_{ABCD} \approx 28.2842 \cdot 2.73205 \approx 77.21735$
Округляем до 0,1 см:
$P_{ABCD} \approx 77.2$ см.

Ответ: $77.2$ см