Номер 141, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

141. В равнобедренном $\triangle MNK$ основание $MK = 10$ см, $NK = 13$ см, $A \in MN, B \in NK$, причем $AB \parallel MK$ и $MA : AN = 3 : 2$. Найдите косинус:

а) $\angle M$

б) $\angle NBA$

Дано:

$\triangle MNK$ - равнобедренный треугольник;

$MK = 10$ см - основание;

$NK = 13$ см - боковая сторона;

$A \in MN, B \in NK$;

$AB \parallel MK$;

$MA : AN = 3 : 2$.

Перевод данных в систему СИ:

$MK = 10$ см $= 0.1$ м;

$NK = 13$ см $= 0.13$ м.

Найти:

а) $\cos(\angle M)$;

б) $\cos(\angle NBA)$.

Решение:

По условию, $\triangle MNK$ - равнобедренный с основанием $MK$.

Следовательно, боковые стороны равны: $MN = NK = 13$ см.

Также углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle M = \angle K$.

а) $\angle M$

Для нахождения косинуса угла $M$ проведем высоту $NH$ из вершины $N$ к основанию $MK$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ является серединой отрезка $MK$.

Таким образом, $MH = HK = \frac{MK}{2}$.

Подставим значение $MK$: $MH = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNH$. В этом треугольнике гипотенуза $MN = 13$ см (как боковая сторона $\triangle MNK$), а прилежащий к углу $M$ катет $MH = 5$ см.

Косинус угла $M$ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle M) = \frac{MH}{MN}$.

Подставим известные значения:

$\cos(\angle M) = \frac{5}{13}$.

Ответ:

$\cos(\angle M) = \frac{5}{13}$.

б) $\angle NBA$

По условию задачи, отрезок $AB$ параллелен основанию $MK$ ($AB \parallel MK$).

Поскольку $AB \parallel MK$, а $MN$ и $NK$ являются секущими, то треугольники $\triangle NAB$ и $\triangle NMK$ подобны по трем углам.

Угол $N$ является общим для обоих треугольников ($\angle ANB = \angle MNK$).

Углы $\angle NAB$ и $\angle NMK$ являются соответственными при параллельных прямых $AB$ и $MK$ и секущей $MN$, поэтому $\angle NAB = \angle NMK = \angle M$.

Углы $\angle NBA$ и $\angle NKM$ являются соответственными при параллельных прямых $AB$ и $MK$ и секущей $NK$, поэтому $\angle NBA = \angle NKM = \angle K$.

Таким образом, для того чтобы найти $\cos(\angle NBA)$, нам нужно найти $\cos(\angle K)$.

Как было установлено в начале решения, $\triangle MNK$ является равнобедренным с основанием $MK$, следовательно, углы при основании равны: $\angle M = \angle K$.

Из пункта а) мы уже нашли значение $\cos(\angle M)$, которое равно $\frac{5}{13}$.

Поскольку $\cos(\angle NBA) = \cos(\angle K)$ и $\cos(\angle K) = \cos(\angle M)$, то $\cos(\angle NBA) = \cos(\angle M)$.

Следовательно, $\cos(\angle NBA) = \frac{5}{13}$.

Примечание: Условие $MA : AN = 3 : 2$ подтверждает подобие треугольников и позволяет найти длины сторон $AN$, $NB$, $AB$, но для нахождения косинуса угла $\angle NBA$ достаточно использования свойства соответственных углов при параллельных прямых и свойств равнобедренного треугольника.

Ответ:

$\cos(\angle NBA) = \frac{5}{13}$.