Практическое задание, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Постройте прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Из какой-либо точки D его гипотенузы проведите перпендикуляр DH к катету AC. Измерьте отрезки AC, AB, AH и AD. Сравните отношения $ \frac{AC}{AB} $ и $ \frac{AH}{AD} $.

Сначала выполним построение, описанное в задаче. Построим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C ($\angle C = 90^\circ$). Затем на гипотенузе AB выберем произвольную точку D и из нее опустим перпендикуляр DH на катет AC. В результате мы получим еще один прямоугольный треугольник — ADH, в котором угол H является прямым ($\angle AHD = 90^\circ$).

Теперь необходимо сравнить отношения $\frac{AC}{AB}$ и $\frac{AH}{AD}$. Для этого проведем математический анализ, который является точным в отличие от измерений с помощью линейки, которые могут содержать погрешности.

Рассмотрим два треугольника: исходный $\triangle ABC$ и построенный $\triangle ADH$.
Можно заметить, что эти треугольники подобны. Докажем это.
1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
2. Поскольку $DH \perp AC$ и $BC \perp AC$, то прямые DH и BC параллельны. При секущей AB соответственные углы будут равны: $\angle ADH = \angle ABC$.
Таким образом, треугольники $\triangle ADH$ и $\triangle ABC$ подобны по двум углам (по признаку подобия AA).

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответствующих сторон равны:
$\frac{AH}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{DH}{BC}$
Возьмем первую часть этого равенства: $\frac{AH}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), можно записать: $AH \cdot AB = AC \cdot AD$.
Разделив обе части этого равенства на произведение $AB \cdot AD$, мы получим:
$\frac{AH \cdot AB}{AB \cdot AD} = \frac{AC \cdot AD}{AB \cdot AD}$
Что приводит к равенству:
$\frac{AH}{AD} = \frac{AC}{AB}$

К этому же выводу можно прийти и более коротким путем, используя определения тригонометрических функций.
В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ косинус угла $\angle A$ определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$
В то же время, в прямоугольном треугольнике $\triangle ADH$ косинус того же угла $\angle A$ это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AD}$
Поскольку левые части обоих выражений равны, то равны и их правые части:
$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AD}$

Таким образом, оба метода показывают, что искомые отношения равны.

Ответ: Отношения $\frac{AC}{AB}$ и $\frac{AH}{AD}$ равны.