Номер 137, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

137.

a) Основания трапеции равны $c$ и $p$ ($p > c$). Найдите длину отрезка, соединяющего середины ее диагоналей.

б) Разделите данный отрезок на две части в отношении: 1) 1 : 2; 2) 3 : 4.

в) Докажите, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то: 1) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$; 2) $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.

а) Основания трапеции равны с и р (p > c). Найдите длину отрезка, соединяющего середины ее диагоналей.

Дано:

Трапеция с основаниями $p$ и $c$.

$p > c$.

Найти:

Длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Решение:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, где $AB = p$ и $CD = c$. Пусть $AD$ и $BC$ — боковые стороны.Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$.Проведем вспомогательную среднюю линию $EF$ трапеции, где $E$ — середина стороны $AD$, а $F$ — середина стороны $BC$.Рассмотрим треугольник $ABD$. Точка $E$ — середина $AD$, точка $N$ — середина $BD$. Следовательно, отрезок $EN$ является средней линией треугольника $ABD$.По свойству средней линии треугольника, $EN \parallel AB$ и $EN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}p$.Рассмотрим треугольник $ADC$. Точка $E$ — середина $AD$, точка $M$ — середина $AC$. Следовательно, отрезок $EM$ является средней линией треугольника $ADC$.По свойству средней линии треугольника, $EM \parallel CD$ и $EM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}c$.Поскольку основания трапеции $AB$ и $CD$ параллельны, и $EN \parallel AB$, а $EM \parallel CD$, то отрезки $EN$ и $EM$ лежат на одной прямой (которая параллельна основаниям трапеции и проходит через $E$). Это означает, что точки $E$, $M$, $N$ лежат на одной прямой.Так как $p > c$, то $EN > EM$. Это означает, что точка $M$ лежит между точками $E$ и $N$.Следовательно, длина отрезка $MN$ равна разности длин отрезков $EN$ и $EM$:$MN = EN - EM$$MN = \frac{1}{2}p - \frac{1}{2}c$$MN = \frac{p-c}{2}$

Ответ: $\frac{p-c}{2}$

б) Разделите данный отрезок на две части в отношении: 1) 1 : 2; 2) 3 : 4.

Пусть длина отрезка, найденного в пункте а), равна $L = \frac{p-c}{2}$.

1) 1 : 2

При делении отрезка длиной $L$ в отношении $1:2$, отрезок разбивается на две части, длины которых относятся как 1 к 2. Сумма долей составляет $1+2=3$.

Длина первой части: $\frac{1}{1+2}L = \frac{1}{3}L = \frac{1}{3} \cdot \frac{p-c}{2} = \frac{p-c}{6}$.

Длина второй части: $\frac{2}{1+2}L = \frac{2}{3}L = \frac{2}{3} \cdot \frac{p-c}{2} = \frac{p-c}{3}$.

Ответ: Части равны $\frac{p-c}{6}$ и $\frac{p-c}{3}$.

2) 3 : 4

При делении отрезка длиной $L$ в отношении $3:4$, отрезок разбивается на две части, длины которых относятся как 3 к 4. Сумма долей составляет $3+4=7$.

Длина первой части: $\frac{3}{3+4}L = \frac{3}{7}L = \frac{3}{7} \cdot \frac{p-c}{2} = \frac{3(p-c)}{14}$.

Длина второй части: $\frac{4}{3+4}L = \frac{4}{7}L = \frac{4}{7} \cdot \frac{p-c}{2} = \frac{2(p-c)}{7}$.

Ответ: Части равны $\frac{3(p-c)}{14}$ и $\frac{2(p-c)}{7}$.

в) Докажите, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то: 1) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$; 2) $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.

1) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

Дано, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.Прибавим 1 к обеим частям этого равенства:$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$Приведем дроби в левой и правой частях к общему знаменателю:$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2) $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

Дано, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.Вычтем 1 из обеих частей этого равенства:$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$Приведем дроби в левой и правой частях к общему знаменателю:$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.