Вопросы, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

2. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны.

1. Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

Ответ:

2. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны.

Дано:

Пусть даны два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $C_1$.

Пусть острый угол $A$ в $\triangle ABC$ равен острому углу $A_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. То есть, $\angle A = \angle A_1$.

Найти:

Доказать, что $\cos A = \cos A_1$.

Решение:

По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для $\triangle ABC$ с острым углом $A$ прилежащим катетом является $AC$, а гипотенузой $AB$. Следовательно, $\cos A = \frac{AC}{AB}$.

Для $\triangle A_1B_1C_1$ с острым углом $A_1$ прилежащим катетом является $A_1C_1$, а гипотенузой $A_1B_1$. Следовательно, $\cos A_1 = \frac{A_1C_1}{A_1B_1}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. У них:

• $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (по условию, так как треугольники прямоугольные).
• $\angle A = \angle A_1$ (дано по условию задачи).

По первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответствующих сторон равны. В частности, отношение прилежащего катета к гипотенузе для угла $A$ будет равно соответствующему отношению для угла $A_1$:

$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$

Из этого равенства, перегруппировав члены, получаем:

$\frac{AC}{AB} = \frac{A_1C_1}{A_1B_1}$

Как мы уже определили, левая часть равенства это $\cos A$, а правая часть это $\cos A_1$.

Следовательно, $\cos A = \cos A_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.