Номер 136, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

136. a) В параллелограмме $ABCD$ биссектриса $AL$ делит сторону $BC$ на отрезки $BL = 3$ см, $LC = 5$ см. Докажите, что четырехугольник $ALCD$ является трапецией и найдите длину ее средней линии.

б) Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ – середины его сторон $AD$ и $CD$ соответственно. Найдите периметр четырехугольника $MOND$, если $AB = 5$ см.

в) На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $M$ и $N$ такие, что $BM : MA = BN : NC = 1 : 2$. Найдите $MN$, если $AC = 12$ см.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Биссектриса $AL$ угла $A$.

Точка $L$ лежит на стороне $BC$.

$BL = 3$ см.

$LC = 5$ см.

Перевод в СИ:

$BL = 0.03$ м.

$LC = 0.05$ м.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $ALCD$ является трапецией.

Длину средней линии трапеции $ALCD$.

Решение:

1. Докажем, что четырехугольник $ALCD$ является трапецией.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Поскольку точка $L$ лежит на отрезке $BC$, то $AD \parallel LC$. Это означает, что четырехугольник $ALCD$ имеет одну пару параллельных сторон $AD$ и $LC$. Для того чтобы он был трапецией, нужно показать, что другая пара сторон, $AL$ и $DC$, не параллельна.

Биссектриса $AL$ делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAL = \angle LAD$.

Так как $AD \parallel BC$, то $\angle LAD = \angle ALB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $AL$.

Из равенств $\angle BAL = \angle LAD$ и $\angle LAD = \angle ALB$ следует, что $\angle BAL = \angle ALB$.

В треугольнике $ABL$ углы при основании $AL$ равны ($\angle BAL = \angle ALB$), следовательно, треугольник $ABL$ является равнобедренным с основанием $AL$. Отсюда $AB = BL$.

По условию $BL = 3$ см, значит $AB = 3$ см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 3$ см.

Сторона $BC = BL + LC = 3 + 5 = 8$ см. В параллелограмме $AD = BC = 8$ см.

Рассмотрим четырехугольник $ALCD$. Если бы он был параллелограммом, то $AD$ было бы равно $LC$. Однако $AD = 8$ см, а $LC = 5$ см. Так как $8 \ne 5$, четырехугольник $ALCD$ не является параллелограммом. Поскольку у него есть одна пара параллельных сторон ($AD \parallel LC$), а другая пара сторон не параллельна, то $ALCD$ является трапецией с основаниями $AD$ и $LC$.

2. Найдем длину средней линии трапеции $ALCD$.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Основаниями трапеции $ALCD$ являются $AD$ и $LC$.

$AD = 8$ см.

$LC = 5$ см.

Средняя линия $m = \frac{AD + LC}{2}$.

$m = \frac{8 + 5}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$ см.

Ответ: Четырехугольник $ALCD$ является трапецией. Длина ее средней линии $6.5$ см.

Дано:

Ромб $ABCD$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Точка $M$ – середина стороны $AD$.

Точка $N$ – середина стороны $CD$.

$AB = 5$ см.

Перевод в СИ:

$AB = 0.05$ м.

Найти:

Периметр четырехугольника $MOND$.

Решение:

В ромбе все стороны равны, поэтому $AB = BC = CD = DA = 5$ см.

Точка $M$ – середина $AD$, следовательно, $DM = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$ см.

Точка $N$ – середина $CD$, следовательно, $DN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$ см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Значит, треугольники $AOD$ и $COD$ являются прямоугольными с прямым углом в вершине $O$ ($\angle AOD = \angle COD = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Для треугольника $AOD$ гипотенузой является $AD$. $M$ – середина $AD$, значит $OM$ – медиана к гипотенузе $AD$.

Следовательно, $OM = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$ см.

Для треугольника $COD$ гипотенузой является $CD$. $N$ – середина $CD$, значит $ON$ – медиана к гипотенузе $CD$.

Следовательно, $ON = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$ см.

Периметр четырехугольника $MOND$ равен сумме длин его сторон: $P_{MOND} = DM + DN + ON + OM$.

$P_{MOND} = 2.5 + 2.5 + 2.5 + 2.5 = 4 \cdot 2.5 = 10$ см.

Ответ: Периметр четырехугольника $MOND$ равен $10$ см.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Точка $M$ на стороне $AB$.

Точка $N$ на стороне $BC$.

$BM : MA = 1 : 2$.

$BN : NC = 1 : 2$.

$AC = 12$ см.

Перевод в СИ:

$AC = 0.12$ м.

Найти:

Длину отрезка $MN$.

Решение:

Из условия $BM : MA = 1 : 2$ следует, что $BM$ составляет одну часть, а $MA$ – две такие же части отрезка $AB$. То есть, $AB = BM + MA = 1$ часть $+ 2$ части $= 3$ части.

Следовательно, $BM = \frac{1}{3} AB$.

Аналогично, из условия $BN : NC = 1 : 2$ следует, что $BN = \frac{1}{3} BC$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN$.

У них есть общий угол $\angle B$.

Отношения сторон, прилегающих к углу $B$, равны:

$\frac{BM}{AB} = \frac{1}{3}$

$\frac{BN}{BC} = \frac{1}{3}$

По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними ($\text{SAS}$), треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{3}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. То есть, $\frac{MN}{AC} = k = \frac{1}{3}$.

Выразим $MN$: $MN = \frac{1}{3} AC$.

Подставим известное значение $AC = 12$ см:

$MN = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

Ответ: Длина отрезка $MN$ равна $4$ см.