Номер 129, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

129. В равнобедренном треугольнике две медианы равны 8 см и 10 см. Может ли его боковая сторона быть равной 12 см? Ответ объясните.

Дано

Равнобедренный треугольник.

Длины двух медиан: $m_1 = 8$ см, $m_2 = 10$ см.

Предполагаемая длина боковой стороны: $b = 12$ см.

Перевод в СИ:

$m_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$m_2 = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Может ли боковая сторона треугольника быть равна 12 см?

Решение

Пусть в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны $b$, а основание равно $a$. В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой. Обозначим их $m_b$. Медиана, проведенная к основанию, обозначим $m_a$.

Используем формулы для длин медиан в треугольнике:

Медиана к основанию $a$ (которая проводится из вершины между боковыми сторонами $b$):

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2b^2 - a^2}{4} = \frac{4b^2 - a^2}{4}$

Медиана к боковой стороне $b$ (которая проводится из вершины основания, и для которой две другие стороны треугольника - это другая боковая сторона $b$ и основание $a$):

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - b^2}{4} = \frac{2a^2 + b^2}{4}$

По условию задачи, две медианы равны 8 см и 10 см. Возможны два случая расположения этих медиан:

Случай 1: Медианы к боковым сторонам равны $m_b = 8$ см, а медиана к основанию равна $m_a = 10$ см.

Используем формулы и подставляем значения:

$m_b^2 = 8^2 = 64 \Rightarrow \frac{2a^2 + b^2}{4} = 64 \Rightarrow 2a^2 + b^2 = 256$ (Уравнение 1)

$m_a^2 = 10^2 = 100 \Rightarrow \frac{4b^2 - a^2}{4} = 100 \Rightarrow 4b^2 - a^2 = 400$ (Уравнение 2)

Проверим, может ли боковая сторона $b$ быть равна 12 см. Подставим $b=12$ в оба уравнения:

Из Уравнения 1:

$2a^2 + 12^2 = 256$

$2a^2 + 144 = 256$

$2a^2 = 256 - 144$

$2a^2 = 112$

$a^2 = 56$

Из Уравнения 2:

$4 \cdot 12^2 - a^2 = 400$

$4 \cdot 144 - a^2 = 400$

$576 - a^2 = 400$

$a^2 = 576 - 400$

$a^2 = 176$

Мы получили два разных значения для $a^2$ (56 и 176). Это означает, что при данном наборе длин медиан (8 см и 10 см) боковая сторона не может быть равна 12 см.

Случай 2: Медианы к боковым сторонам равны $m_b = 10$ см, а медиана к основанию равна $m_a = 8$ см.

Используем формулы и подставляем значения:

$m_b^2 = 10^2 = 100 \Rightarrow \frac{2a^2 + b^2}{4} = 100 \Rightarrow 2a^2 + b^2 = 400$ (Уравнение 3)

$m_a^2 = 8^2 = 64 \Rightarrow \frac{4b^2 - a^2}{4} = 64 \Rightarrow 4b^2 - a^2 = 256$ (Уравнение 4)

Проверим, может ли боковая сторона $b$ быть равна 12 см. Подставим $b=12$ в оба уравнения:

Из Уравнения 3:

$2a^2 + 12^2 = 400$

$2a^2 + 144 = 400$

$2a^2 = 400 - 144$

$2a^2 = 256$

$a^2 = 128$

Из Уравнения 4:

$4 \cdot 12^2 - a^2 = 256$

$4 \cdot 144 - a^2 = 256$

$576 - a^2 = 256$

$a^2 = 576 - 256$

$a^2 = 320$

Снова мы получили два разных значения для $a^2$ (128 и 320). Это также означает, что при данном наборе длин медиан боковая сторона не может быть равна 12 см.

Поскольку в обоих возможных случаях предположение о боковой стороне, равной 12 см, приводит к противоречию (различные значения для квадрата основания $a^2$), то боковая сторона данного равнобедренного треугольника не может быть равна 12 см.

Также, для существования треугольника необходимо, чтобы длина основания $a$ была положительной и удовлетворяла неравенству треугольника: $2b > a$. В обоих случаях, если бы значения $a^2$ были согласованы, $a$ было бы положительным и меньше $2b$. Например, в Случае 1, $a = \sqrt{56} \approx 7.48$, что меньше $2 \cdot 12 = 24$. В Случае 2, $a = \sqrt{128} \approx 11.31$, что также меньше $2 \cdot 12 = 24$. Однако, поскольку мы приходим к противоречию уже на этапе определения $a^2$, нет необходимости дополнительно проверять неравенство треугольника.

Ответ:

Нет, его боковая сторона не может быть равна 12 см.