Номер 126, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

126. a) Установите вид треугольника, в котором одна из его вершин и центры описанной и вписанной окружностей лежат на одной прямой.

б) Найдите наименьший радиус круга, из которого можно вырезать равносторонний треугольник с периметром 60 см.

a) Установите вид треугольника, в котором одна из его вершин и центры описанной и вписанной окружностей лежат на одной прямой.

Решение

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим центр описанной окружности как $O$, а центр вписанной окружности как $I$. По условию, одна из вершин треугольника, например $A$, и центры $O$ и $I$ лежат на одной прямой.

Центр вписанной окружности $I$ всегда находится на биссектрисах углов треугольника. Следовательно, прямая, проходящая через вершину $A$ и центр вписанной окружности $I$, является биссектрисой угла $A$.

Если центр описанной окружности $O$ также лежит на этой прямой $AI$, то это означает, что биссектриса угла $A$ проходит через центр описанной окружности. Центр описанной окружности $O$ равноудален от всех вершин треугольника ($OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности). Кроме того, центр $O$ лежит на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника.

Если биссектриса угла $A$ (прямая $AI$) содержит центр описанной окружности $O$, то эта прямая должна быть осью симметрии для треугольника. Для того чтобы биссектриса угла $A$ была осью симметрии, треугольник должен быть равнобедренным с основанием $BC$, то есть стороны $AB$ и $AC$ должны быть равны. В этом случае, биссектриса $AI$ также является медианой, высотой и серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Оба центра $I$ и $O$ лежат на этой оси симметрии.

Если треугольник является равносторонним, то все его медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают. В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей, а также центр тяжести и ортоцентр, совпадают в одной точке. В этом случае, любая вершина, $A$, $I$, и $O$ (которые представляют одну и ту же точку) лежат на одной прямой.

Таким образом, треугольник, удовлетворяющий данному условию, является равнобедренным.

Ответ: Равнобедренный треугольник.

б) Найдите наименьший радиус круга, из которого можно вырезать равносторонний треугольник с периметром 60 см.

Дано

Равносторонний треугольник.

Периметр $P = 60 \text{ см}$.

Перевод в СИ

$P = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$.

Найти:

Наименьший радиус круга $R$.

Решение

1. Наименьший круг, из которого можно вырезать равносторонний треугольник, — это окружность, описанная вокруг этого треугольника. Радиус этого круга равен радиусу описанной окружности $R$.

2. Сначала найдем длину стороны $a$ равностороннего треугольника. Периметр равностороннего треугольника равен произведению трех сторон:

$P = 3a$

Отсюда выразим сторону $a$:

$a = \frac{P}{3}$

Подставим значение периметра:

$a = \frac{60 \text{ см}}{3}$

$a = 20 \text{ см}$

3. Радиус описанной окружности $R$ для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение $a$:

$R = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ см}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{20 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \text{ см}$

$R = \frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.