Номер 122, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

122. a) Одна из диагоналей трапеции делит ее среднюю линию на части 5 см и 10 см. Найдите периметр трапеции, если ее диагонали лежат на биссектрисах острых углов.

б) В трапеции ABCD с основаниями $AD$ и $BC$ $\angle D = 30^\circ$, $BC = 10$ см. Прямые $AB$ и $DC$ пересекаются под прямым углом. Найдите длину боковой стороны $AB$ трапеции, если ее средняя линия равна 16 см.

a)

Дано:

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.

Средняя линия $MN$ трапеции.

Диагональ $AC$ делит среднюю линию на части $MK = 5 \text{ см}$ и $KN = 10 \text{ см}$.

Диагонали лежат на биссектрисах острых углов.

Перевод в СИ:

$MK = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$KN = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Периметр трапеции $P_{ABCD}$.

Решение:

Пусть $MN$ – средняя линия трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$.

Отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$, так как $M$ – середина $AB$ и $MK \parallel BC$. Следовательно, $MK = \frac{1}{2} BC$.

Отрезок $KN$ является средней линией треугольника $ADC$, так как $N$ – середина $CD$ и $KN \parallel AD$. Следовательно, $KN = \frac{1}{2} AD$.

По условию, части средней линии равны $5 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$. Пусть $MK = 5 \text{ см}$ и $KN = 10 \text{ см}$.

Тогда $BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

И $AD = 2 \cdot KN = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см}$.

По условию, диагонали трапеции лежат на биссектрисах острых углов. Пусть $\angle A$ и $\angle D$ – острые углы трапеции.

Если диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle BAC = \angle CAD$.

Поскольку $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD$ (как накрест лежащие углы при секущей $AC$).

Из этого следует, что $\angle BAC = \angle BCA$, и значит, треугольник $ABC$ – равнобедренный с $AB = BC$.

Следовательно, $AB = 10 \text{ см}$.

Если диагональ $BD$ является биссектрисой угла $D$, то $\angle ADB = \angle BDC$.

Поскольку $BC \parallel AD$, то $\angle CBD = \angle ADB$ (как накрест лежащие углы при секущей $BD$).

Из этого следует, что $\angle CBD = \angle BDC$, и значит, треугольник $BCD$ – равнобедренный с $CD = BC$.

Следовательно, $CD = 10 \text{ см}$.

Таким образом, мы имеем трапецию со сторонами $AB = 10 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $CD = 10 \text{ см}$ и $AD = 20 \text{ см}$.

Это равнобокая трапеция ($AB = CD$). Проверим, являются ли углы $A$ и $D$ острыми.

Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$.

Тогда $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5 \text{ см}$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\angle A = 60^\circ$. Это острый угол. Аналогично $\angle D = 60^\circ$. Условия задачи соблюдены.

Периметр трапеции $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 10 + 10 + 10 + 20 = 50 \text{ см}$.

Ответ: $50 \text{ см}$

б)

Дано:

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$.

$\angle D = 30^\circ$.

$BC = 10 \text{ см}$.

Прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом ($\angle APD = 90^\circ$).

Средняя линия $m = 16 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$BC = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$m = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$\angle D = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

$\angle APD = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$

Найти:

Длину боковой стороны $AB$.

Решение:

Пусть прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$. По условию, $\angle APD = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $APD$. В нем $\angle P = 90^\circ$ и $\angle D = 30^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle PAD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Поскольку $BC \parallel AD$, треугольник $BPC$ подобен треугольнику $APD$ по трем углам ($\angle P$ общий, $\angle PBC = \angle PAD = 60^\circ$ как соответственные углы, $\angle PCB = \angle PDA = 30^\circ$ как соответственные углы).

В прямоугольном треугольнике $BPC$ (угол $P$ прямой) гипотенузой является $BC = 10 \text{ см}$.

Найдем длины катетов $PB$ и $PC$ в $\triangle BPC$:

$PB = BC \sin(\angle PCB) = BC \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см}$.

$PC = BC \cos(\angle PCB) = BC \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см}$.

Средняя линия трапеции $m = \frac{AD + BC}{2}$.

По условию $m = 16 \text{ см}$ и $BC = 10 \text{ см}$.

$16 = \frac{AD + 10}{2}$.

$32 = AD + 10$.

$AD = 22 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $APD$. В нем гипотенуза $AD = 22 \text{ см}$.

Найдем длину катета $AP$ в $\triangle APD$:

$AP = AD \sin(\angle D) = AD \sin(30^\circ) = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11 \text{ см}$.

Длина боковой стороны $AB$ трапеции равна разности $AP$ и $PB$:

$AB = AP - PB = 11 - 5 = 6 \text{ см}$.

Ответ: $6 \text{ см}$