Номер 120, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

120. Прямоугольная трапеция делится диагональю на прямоугольный и равносторонний треугольники. Найдите среднюю линию трапеции, если периметр равностороннего треугольника равен 27 дм.

Дано:

Прямоугольная трапеция делится диагональю на прямоугольный и равносторонний треугольники.

Периметр равностороннего треугольника $P_{eq} = 27$ дм.

Перевод в СИ:

$P_{eq} = 27 \text{ дм} = 2.7 \text{ м}$.

Найти:

Средняя линия трапеции $m$.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Так как трапеция прямоугольная, один из её непараллельных сторон перпендикулярен основаниям. Пусть это будет сторона $AB$, тогда $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.

Рассмотрим диагональ $BD$. Она делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

$\triangle ABD$ является прямоугольным, так как $\angle A = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle ABD$ — это прямоугольный треугольник, упомянутый в условии задачи.

Следовательно, $\triangle BCD$ должен быть равносторонним треугольником.

Периметр равностороннего треугольника $P_{BCD} = 27$ дм.

У равностороннего треугольника все стороны равны. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Тогда $P_{BCD} = 3a$.

$3a = 27 \text{ дм}$

$a = \frac{27}{3} = 9 \text{ дм}$.

Таким образом, стороны равностороннего треугольника $\triangle BCD$ равны:

$BC = CD = BD = 9 \text{ дм}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$. Его гипотенуза $BD = 9$ дм.

Так как $\triangle BCD$ равносторонний, все его углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle CBD = 60^\circ$.

Поскольку $AB$ перпендикулярна $BC$ (так как $AB$ - высота трапеции, а $BC$ - основание), $\angle ABC = 90^\circ$.

Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$ (с $\angle A = 90^\circ$):

Сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle ABD = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Значит, $AD = \frac{1}{2} BD$.

$AD = \frac{1}{2} \times 9 \text{ дм} = 4.5 \text{ дм}$.

Стороны $AD$ и $BC$ являются основаниями трапеции.

Мы нашли:

$AD = 4.5 \text{ дм}$

$BC = 9 \text{ дм}$ (из сторон равностороннего треугольника).

Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$, где $a$ и $b$ - длины оснований.

$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{4.5 \text{ дм} + 9 \text{ дм}}{2} = \frac{13.5 \text{ дм}}{2} = 6.75 \text{ дм}$.

Ответ: 6.75 дм.