Вопросы, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Докажите, что:

а) серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке;

б) медианы треугольника пересекаются в одной точке;

в) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

г) прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

а) серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке

Решение
Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем серединные перпендикуляры $l_{AB}$ к стороне $AB$ и $l_{AC}$ к стороне $AC$. Пусть они пересекаются в точке $O$. По свойству серединного перпендикуляра, любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $l_{AB}$ к стороне $AB$, то $OA = OB$.
Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $l_{AC}$ к стороне $AC$, то $OA = OC$.
Из этих двух равенств следует, что $OB = OC$.
Поскольку $OB = OC$, точка $O$ равноудалена от вершин $B$ и $C$. Следовательно, по определению серединного перпендикуляра, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Таким образом, все три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке $O$. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Ответ:

б) медианы треугольника пересекаются в одной точке

Решение
Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем две медианы: $AD$ к стороне $BC$ (где $D$ - середина $BC$) и $BE$ к стороне $AC$ (где $E$ - середина $AC$). Пусть эти медианы пересекаются в точке $M$.
Соединим точки $D$ и $E$. Отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, так как он соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Из свойств средней линии следует, что $DE \parallel AB$ и $DE = \frac{1}{2}AB$.
Рассмотрим треугольники $ABM$ и $EDM$. Угол $\angle BAM$ (или $\angle EAM$) равен углу $\angle DEM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DE$ и секущей $AE$. Угол $\angle ABM$ (или $\angle DBM$) равен углу $\angle EDM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DE$ и секущей $BD$.
Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, треугольники $ABM$ и $EDM$ подобны по первому признаку подобия (AA-подобие).
Из подобия следует соотношение соответствующих сторон: $\frac{AM}{ME} = \frac{BM}{MD} = \frac{AB}{DE}$
Так как $DE = \frac{1}{2}AB$, то отношение $\frac{AB}{DE} = 2$. Следовательно, $AM = 2ME$ и $BM = 2MD$. Это означает, что точка $M$ делит медианы $AD$ и $BE$ в отношении $2:1$, считая от вершины.
Теперь рассмотрим медианы $BE$ и $CF$ к стороне $AB$ (где $F$ - середина $AB$). Пусть они пересекаются в точке $M'$. Проводя аналогичные рассуждения, мы обнаружим, что точка $M'$ также делит медиану $BE$ в отношении $2:1$, считая от вершины (т.е. $BM' = 2M'E$). Поскольку на медиане $BE$ может быть только одна точка, которая делит ее в отношении $2:1$ от вершины $B$, то точки $M$ и $M'$ должны совпадать. Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Ответ:

в) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Решение
Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем биссектрисы $AD$ угла $A$ и $BE$ угла $B$. Пусть они пересекаются в точке $I$. По свойству биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.
Так как точка $I$ лежит на биссектрисе $AD$ угла $A$, то она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Обозначим это расстояние как $r_1$.
Так как точка $I$ лежит на биссектрисе $BE$ угла $B$, то она равноудалена от сторон $AB$ и $BC$. Обозначим это расстояние как $r_2$.
Из этих двух утверждений следует, что точка $I$ равноудалена от всех трех сторон треугольника $AB$, $AC$ и $BC$. То есть $r_1 = r_2$.
Поскольку точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$, по определению биссектрисы, она должна лежать на биссектрисе угла $C$. Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке $I$. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Ответ:

г) прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке

Решение
Пусть дан треугольник $ABC$.
Проведем через каждую вершину треугольника $ABC$ прямую, параллельную противоположной стороне.
1. Через вершину $A$ проведем прямую $l_A \parallel BC$. 2. Через вершину $B$ проведем прямую $l_B \parallel AC$. 3. Через вершину $C$ проведем прямую $l_C \parallel AB$.
Эти три прямые образуют новый треугольник $A'B'C'$. Пусть $A' = l_B \cap l_C$, $B' = l_A \cap l_C$, $C' = l_A \cap l_B$.
Рассмотрим четырехугольники, образованные параллельными прямыми:
Четырехугольник $AC'BC$ является параллелограммом, так как $AC' \parallel CB$ (часть $l_A$ и $BC$) и $AC \parallel C'B$ (часть $l_B$ и $AC$). Из свойств параллелограмма следует, что $AC' = CB$.
Четырехугольник $A'BCA$ является параллелограммом, так как $A'B \parallel AC$ (часть $l_C$ и $AC$) и $A'C \parallel AB$ (часть $l_B$ и $AB$). Из свойств параллелограмма следует, что $A'B = AC$.
Четырехугольник $ABC'C$ является параллелограммом, так как $AB \parallel C'C$ и $AC \parallel BC'$. Из свойств параллелограмма следует, что $AB = C'C$.
Теперь рассмотрим стороны треугольника $A'B'C'$: $A'B = AC$ (из $A'BCA$) и $B'C = AC$ (из $ABCB'$). Следовательно, $A'B = B'C$. Поскольку $A$ лежит на отрезке $B'A'$ (из $l_A$), и $AC \parallel B'A'$, а также $BC \parallel A'C'$,
Уточним: Четырехугольник $ACBC'$ - параллелограмм (поскольку $AC \parallel BC'$ и $AB \parallel CC'$). Значит $AC = BC'$. Четырехугольник $ABCC'$ - параллелограмм (поскольку $AB \parallel CC'$ и $BC \parallel AC'$). Значит $AB = CC'$.
Из $AC \parallel B'C'$, $BC \parallel A'C'$, $AB \parallel A'B'$.
Рассмотрим четырехугольник $AC'BC$: $AC' \parallel BC$ и $AB \parallel C'C$. Это параллелограмм, $AC = C'B$. Рассмотрим четырехугольник $ABC'C$: $AB \parallel C'C$ и $AC \parallel B'C$. Это параллелограмм, $AB = C'C$. Рассмотрим четырехугольник $ACBB'$: $AC \parallel B'B$ и $AB \parallel B'C$. Это параллелограмм, $AC = B'B$. Рассмотрим четырехугольник $BCA'C$: $BC \parallel A'C$ и $AC \parallel A'B$. Это параллелограмм, $BC = A'C$.
Из $ACBC'$: $AC = BC'$. Из $ABA'C$: $AC = A'B$. Следовательно, $BC' = A'B$. Точка $A$ является серединой стороны $B'C'$ нового треугольника $A'B'C'$.
Аналогично, точка $B$ является серединой стороны $A'C'$, и точка $C$ является серединой стороны $A'B'$.
Теперь рассмотрим высоты треугольника $ABC$. Высота из вершины $A$ к стороне $BC$ перпендикулярна $BC$. По построению $B'C' \parallel BC$. Следовательно, эта высота перпендикулярна и $B'C'$. Поскольку $A$ является серединой $B'C'$, эта высота является серединным перпендикуляром к стороне $B'C'$ треугольника $A'B'C'$.
Аналогично, высота из вершины $B$ к стороне $AC$ является серединным перпендикуляром к стороне $A'C'$ треугольника $A'B'C'$. И высота из вершины $C$ к стороне $AB$ является серединным перпендикуляром к стороне $A'B'$ треугольника $A'B'C'$.
Согласно доказательству в пункте а), серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, прямые, содержащие высоты треугольника $ABC$ (которые являются серединными перпендикулярами треугольника $A'B'C'$), также пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Ответ: