Номер 121, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

121. a) Найдите среднюю линию равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а расстояние между ее основаниями равно 1 дм.

б) Средняя линия трапеции делится ее диагональю на части, равные 2 см и 5 см. Вычислите углы трапеции, если каждая из ее боковых сторон равна 6 см.

а)

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$ (основания $AB$ и $CD$).

Диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Высота трапеции $h = 1$ дм.

Перевод в СИ:

$h = 1$ дм $= 0.1$ м.

Найти:

Среднюю линию трапеции $m$.

Решение:

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$.

Для равнобедренной трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, существует свойство, что высота трапеции равна полусумме ее оснований. То есть $h = \frac{a+b}{2}$.

Доказательство этого свойства:

Пусть трапеция $ABCD$ имеет основания $AB = a$ и $CD = b$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Поскольку трапеция равнобедренная, то $OA = OB$ и $OC = OD$. Также, поскольку диагонали перпендикулярны, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ являются прямоугольными и равнобедренными.

Высота трапеции $h$ является суммой высот $h_1$ и $h_2$ соответствующих треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, проведенных из точки $O$ к основаниям $AB$ и $CD$.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ (угол при вершине $O$ прямой), высота к гипотенузе $h_1$ равна половине гипотенузы, то есть $h_1 = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$.

Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle COD$, высота к гипотенузе $h_2$ равна половине гипотенузы, то есть $h_2 = \frac{CD}{2} = \frac{b}{2}$.

Следовательно, высота трапеции $h = h_1 + h_2 = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Так как средняя линия трапеции $m = \frac{a+b}{2}$, мы получаем, что $m = h$.

По условию задачи, высота трапеции $h = 1$ дм.

Значит, средняя линия трапеции $m = 1$ дм.

Ответ: $1$ дм.

б)

Дано:

Трапеция $ABCD$ (основания $AB$ и $CD$).

Средняя линия $MN$ (точка $M$ – середина $AD$, точка $N$ – середина $BC$).

Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $P$.

Части средней линии: $MP = 2$ см, $PN = 5$ см.

Боковые стороны: $AD = BC = 6$ см.

Перевод в СИ:

$MP = 2$ см $= 0.02$ м.

$PN = 5$ см $= 0.05$ м.

$AD = BC = 6$ см $= 0.06$ м.

Найти:

Углы трапеции.

Решение:

Пусть $AB = a$ (большее основание) и $CD = b$ (меньшее основание).

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок $MP$ соединяет середину стороны $AD$ ($M$) с точкой $P$ на диагонали $AC$. Так как $MN$ - средняя линия трапеции, то $MN \parallel AB \parallel CD$. Следовательно, $MP \parallel CD$. По теореме о средней линии треугольника (или теореме Фалеса), если прямая, параллельная одной стороне треугольника, пересекает вторую сторону в ее середине, то она пересекает третью сторону в ее середине. Таким образом, $P$ является серединой $AC$, и $MP$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$.

Поэтому $MP = \frac{1}{2} CD = \frac{b}{2}$.

Из условия $MP = 2$ см, получаем $b = 2 \times MP = 2 \times 2$ см $= 4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $PN$ соединяет середину стороны $BC$ ($N$) с точкой $P$ на диагонали $AC$. Поскольку $MN \parallel AB$, то $PN \parallel AB$. $P$ также является серединой $AC$ (как мы установили ранее). Таким образом, $PN$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$.

Поэтому $PN = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$.

Из условия $PN = 5$ см, получаем $a = 2 \times PN = 2 \times 5$ см $= 10$ см.

Теперь у нас есть длины оснований $a = 10$ см, $b = 4$ см и длины боковых сторон $c = AD = BC = 6$ см. Поскольку боковые стороны равны, трапеция является равнобедренной.

Опустим высоты $DH_1$ и $CH_2$ из вершин $D$ и $C$ на основание $AB$.

В равнобедренной трапеции отрезки $AH_1$ и $BH_2$ равны и вычисляются по формуле $AH_1 = \frac{a-b}{2}$.

$AH_1 = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADH_1$. Гипотенуза $AD = 6$ см, катет $AH_1 = 3$ см.

Мы можем найти косинус угла $A$ (или $ADH_1$) в этом треугольнике:

$\cos(\angle A) = \frac{AH_1}{AD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Отсюда следует, что $\angle A = 60^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании $AB$ равны: $\angle B = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.

$\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Аналогично, $\angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: Углы трапеции равны $60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ$.