Номер 118, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

118. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 16 см и делится диагональю на части, разность которых равна 6 см.

Дано:

Длина средней линии трапеции $m = 16$ см.

Разность частей, на которые средняя линия делится диагональю, $\Delta l = 6$ см.

Перевод в СИ:

$m = 16$ см $= 0.16$ м.

$\Delta l = 6$ см $= 0.06$ м.

Найти:

Длины оснований трапеции $a$ и $b$.

Решение:

1. Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции. Длина средней линии трапеции $m$ выражается формулой:

$m = \frac{a+b}{2}$

По условию, средняя линия равна $16$ см. Подставим это значение в формулу:

$\frac{a+b}{2} = 16$

Отсюда получаем первое уравнение:

$a+b = 32$ (уравнение 1)

2. Средняя линия трапеции делится диагональю на две части. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, MN - средняя линия (M - середина AD, N - середина BC). Пусть диагональ BD пересекает среднюю линию MN в точке Q.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Отрезок MQ является частью средней линии MN и параллелен основанию AB. Так как M - середина AD, то MQ является средней линией треугольника $\triangle ABD$, исходящей из середины стороны AD. Следовательно, ее длина равна половине основания AB:

$MQ = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Отрезок QN является частью средней линии MN и параллелен основанию CD. Так как N - середина BC, то QN является средней линией треугольника $\triangle BCD$, исходящей из середины стороны BC. Следовательно, ее длина равна половине основания CD:

$QN = \frac{CD}{2} = \frac{b}{2}$

По условию, разность длин этих частей средней линии равна $6$ см:

$|MQ - QN| = 6$

Подставим выражения для MQ и QN:

$|\frac{a}{2} - \frac{b}{2}| = 6$

$|\frac{a-b}{2}| = 6$

$|a-b| = 12$

Примем, что $a > b$ (большее основание минус меньшее), тогда:

$a-b = 12$ (уравнение 2)

3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$a+b = 32$

$a-b = 12$

Сложим оба уравнения:

$(a+b) + (a-b) = 32 + 12$

$2a = 44$

$a = \frac{44}{2}$

$a = 22$ см

Подставим значение $a$ в первое уравнение ($a+b=32$):

$22 + b = 32$

$b = 32 - 22$

$b = 10$ см

Таким образом, длины оснований трапеции равны $22$ см и $10$ см.

Проверка:

Средняя линия: $\frac{22+10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см. (Соответствует условию)

Части средней линии: $MQ = \frac{22}{2} = 11$ см и $QN = \frac{10}{2} = 5$ см.

Разность частей: $11 - 5 = 6$ см. (Соответствует условию)

Все условия задачи выполнены.

Ответ:

Основания трапеции равны $22$ см и $10$ см.