Номер 125, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

125. Через центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности проведена прямая $PK$, параллельная стороне $AC$ ($P \in AB$, $K \in BC$).

Докажите, что $PK = AP + KC$.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Окружность вписана в треугольник $ABC$, пусть $I$ - её центр.

Прямая $RK$ проходит через центр $I$.

Прямая $RK$ параллельна стороне $AC$ ($RK \parallel AC$).

Точка $P$ лежит на стороне $AB$ ($P \in AB$).

Точка $K$ лежит на стороне $BC$ ($K \in BC$).

Найти:

Доказать, что $RK = AP + KC$.

Решение:

1. Центр вписанной окружности $I$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Проведем отрезки $AI$ и $CI$, которые являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно.

2. Так как $RK \parallel AC$ по условию, и $AI$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle PIA = \angle IAC$.

3. Поскольку $AI$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, то $\angle PAI = \angle IAC$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle PIA = \angle PAI$.

5. В треугольнике $API$, если два угла равны, то треугольник является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $AP = PI$.

6. Аналогично, рассмотрим прямые $RK \parallel AC$ и секущую $CI$. Накрест лежащие углы равны: $\angle KIC = \angle ICA$.

7. Поскольку $CI$ является биссектрисой угла $\angle BCA$, то $\angle KCI = \angle ICA$.

8. Из пунктов 6 и 7 следует, что $\angle KIC = \angle KCI$.

9. В треугольнике $CIK$, если два угла равны, то треугольник является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $IK = KC$.

10. Отрезок $RK$ состоит из двух отрезков $PI$ и $IK$, так как точка $I$ лежит на отрезке $RK$. То есть $RK = PI + IK$.

11. Подставим в это равенство найденные соотношения из пунктов 5 и 9: $RK = AP + KC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $RK = AP + KC$