Номер 132, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

132. a) Верно ли, что: 1) середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника; 2) если отрезок параллелен стороне треугольника и равен ее половине, то он является его средней линией? Ответ обоснуйте.

б) Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.

в) Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, в котором $\angle ADC = 150^\circ$ и сумма расстояний от точки $B$ до сторон $AD$ и $DC$ равна 9 см.

a) Верно ли, что: 1) середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника; 2) если отрезок параллелен стороне треугольника и равен ее половине, то он является его средней линией? Ответ обоснуйте.

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$ (т.е., $AB=AC$). Пусть $D$, $E$, $F$ - середины сторон $AB$, $BC$, $AC$ соответственно. Тогда треугольник, образованный этими серединами, это $DEF$.

По теореме о средней линии треугольника:

• $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, параллельной $AC$, и $DE = \frac{1}{2}AC$.

• $EF$ является средней линией треугольника $ABC$, параллельной $AB$, и $EF = \frac{1}{2}AB$.

• $DF$ является средней линией треугольника $ABC$, параллельной $BC$, и $DF = \frac{1}{2}BC$.

Поскольку $AB=AC$ (по условию, треугольник равнобедренный), то $DE = \frac{1}{2}AC$ и $EF = \frac{1}{2}AB$ означают, что $DE = EF$.

Таким образом, треугольник $DEF$ имеет две равные стороны ($DE=EF$), что делает его равнобедренным.

Ответ: Верно.

2) Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон, который параллелен третьей стороне и равен ее половине. Вопрос утверждает: "если отрезок параллелен стороне треугольника и равен ее половине, то он является его средней линией?"

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть отрезок $MN$ (где $M$ лежит на $AB$, а $N$ на $AC$) параллелен стороне $BC$ ($MN \parallel BC$) и равен ее половине ($MN = \frac{1}{2}BC$).

Поскольку $MN \parallel BC$, то треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle A$ общий, $\angle AMN = \angle ABC$ как соответственные углы).

Из подобия следует, что отношения соответствующих сторон равны:

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.

По условию, $MN = \frac{1}{2}BC$, следовательно, $\frac{MN}{BC} = \frac{1}{2}$.

Значит, $\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}$ и $\frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}$.

Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ является серединой стороны $AC$.

По определению, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией.

Ответ: Верно.

б) Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.

Пусть дан треугольник $ABC$. Пусть $M$ - середина стороны $AB$, и $N$ - середина стороны $AC$. Прямая, проходящая через середины двух его сторон, это прямая $MN$.

По теореме о средней линии треугольника, отрезок $MN$ является средней линией, поэтому $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2}BC$.

Расстояние от вершины до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из вершины на эту прямую.

1. Расстояние от вершины $A$ до прямой $MN$:

Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Так как $MN \parallel BC$, $MN$ пересекает $AH$ в точке $K$. Треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$ (так как $M$ и $N$ середины сторон). Поэтому высота $AK$ треугольника $AMN$ (из вершины $A$ к стороне $MN$) равна половине высоты $AH$ треугольника $ABC$ (из вершины $A$ к стороне $BC$).

Таким образом, расстояние от $A$ до $MN$ равно $AK = \frac{1}{2}AH$.

2. Расстояния от вершин $B$ и $C$ до прямой $MN$:

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $BC$, расстояние от любой точки стороны $BC$ до прямой $MN$ будет одинаковым. Это расстояние равно расстоянию между двумя параллельными прямыми $MN$ и $BC$.

Если мы продолжим высоту $AH$ до пересечения с $MN$ в точке $K$, то отрезок $KH$ является перпендикуляром между $MN$ и $BC$.

Так как $K$ - середина высоты $AH$ (из-за подобия $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$ и того, что $MN$ - средняя линия), то $KH = \frac{1}{2}AH$.

Следовательно, расстояние от $B$ до $MN$ равно $KH = \frac{1}{2}AH$.

Аналогично, расстояние от $C$ до $MN$ равно $KH = \frac{1}{2}AH$.

Таким образом, мы показали, что расстояние от $A$ до $MN$ равно $AK = \frac{1}{2}AH$, и расстояния от $B$ и $C$ до $MN$ равны $KH = \frac{1}{2}AH$.

Следовательно, все три вершины $A$, $B$, $C$ равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.

Ответ: Доказано.

в) Найдите периметр параллелограмма ABCD, в котором $\angle ADC = 150^\circ$ и сумма расстояний от точки B до сторон AD и DC равна 9 см.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

$\angle ADC = 150^\circ$.

Сумма расстояний от точки $B$ до стороны $AD$ и до стороны $DC$ равна 9 см.

Перевод в СИ:

$\angle ADC = 150^\circ$ (перевода не требуется).

Сумма расстояний $h_{B,AD} + h_{B,DC} = 9$ см $= 0.09$ м. (Для данной задачи удобнее проводить вычисления в сантиметрах, так как ответ также будет в сантиметрах).

Найти:

Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$.

Решение:

Пусть $AD = a$ и $AB = b$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $BC = AD = a$ и $CD = AB = b$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$.

$\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Противолежащие углы параллелограмма равны, поэтому $\angle BCD = \angle DAB = 30^\circ$.

1. Найдем расстояние от точки $B$ до стороны $AD$ ($h_{B,AD}$).

Опустим перпендикуляр $BE$ из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABE$. Угол $\angle BAE$ равен $\angle DAB = 30^\circ$.

$h_{B,AD} = BE = AB \cdot \sin(\angle BAE) = b \cdot \sin(30^\circ) = b \cdot \frac{1}{2}$.

2. Найдем расстояние от точки $B$ до стороны $DC$ ($h_{B,DC}$).

Опустим перпендикуляр $BF$ из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $DC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCF$. Угол $\angle BCF$ равен $\angle BCD = 30^\circ$.

$h_{B,DC} = BF = BC \cdot \sin(\angle BCF) = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2}$.

3. Используем данное условие о сумме расстояний.

Нам дано, что $h_{B,AD} + h_{B,DC} = 9$ см.

Подставляем найденные выражения:

$b \cdot \frac{1}{2} + a \cdot \frac{1}{2} = 9$.

Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{1}{2}(a+b) = 9$.

Умножим обе части на 2:

$a+b = 18$ см.

4. Вычислим периметр параллелограмма.

Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ равен удвоенной сумме длин двух смежных сторон:

$P_{ABCD} = 2(AD + AB) = 2(a+b)$.

Подставляем значение $a+b = 18$ см:

$P_{ABCD} = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Ответ: 36 см.