Номер 134, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

134. a) Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Найдите их длины, если они удалены от центра окружности на 2 см и 5 см.

б) Дан равнобедренный треугольник с углом $120^\circ$ и боковой стороной, равной 4 см. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой, содержащей его основание. Установите вид получившегося четырехугольника и найдите его меньшую диагональ.

a) Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Найдите их длины, если они удалены от центра окружности на 2 см и 5 см.

Дано

Пусть $L_1$ и $L_2$ — длины двух взаимно перпендикулярных хорд, выходящих из одной точки на окружности.

$d_1 = 2$ см — расстояние от центра окружности до первой хорды.

$d_2 = 5$ см — расстояние от центра окружности до второй хорды.

Найти:

$L_1$, $L_2$.

Решение

Пусть хорды, выходящие из одной точки $A$ на окружности, это $AB$ и $AC$.

Поскольку хорды $AB$ и $AC$ взаимно перпендикулярны ($\angle BAC = 90^\circ$), то треугольник $ABC$ является прямоугольным, вписанным в окружность. Следовательно, его гипотенуза $BC$ является диаметром окружности.

Пусть $O$ — центр окружности. Пусть $M_1$ — середина хорды $AB$, а $M_2$ — середина хорды $AC$.

Расстояние от центра до хорды перпендикулярно хорде, поэтому $OM_1 \perp AB$ и $OM_2 \perp AC$.

Нам даны $OM_1 = d_1 = 2$ см и $OM_2 = d_2 = 5$ см.

Рассмотрим четырехугольник $AM_2OM_1$.

Угол $\angle BAC = 90^\circ$ (по условию $AB \perp AC$).

Угол $\angle AM_1O = 90^\circ$ (так как $OM_1 \perp AB$).

Угол $\angle AM_2O = 90^\circ$ (так как $OM_2 \perp AC$).

Поскольку три угла в четырехугольнике $AM_2OM_1$ равны $90^\circ$, то этот четырехугольник является прямоугольником.

В прямоугольнике противоположные стороны равны.

Следовательно, $AM_1 = OM_2 = 5$ см и $AM_2 = OM_1 = 2$ см.

Так как $M_1$ — середина хорды $AB$, то длина хорды $AB = L_1 = 2 \cdot AM_1$.

$L_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Так как $M_2$ — середина хорды $AC$, то длина хорды $AC = L_2 = 2 \cdot AM_2$.

$L_2 = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: Длины хорд 10 см и 4 см.

б) Дан равнобедренный треугольник с углом 120° и боковой стороной, равной 4 см. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой, содержащей его основание. Установите вид получившегося четырехугольника и найдите его меньшую диагональ.

Дано

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Боковые стороны $AB = BC = 4$ см.

Угол между боковыми сторонами $\angle ABC = 120^\circ$.

Строится треугольник $ADC$, симметричный $ABC$ относительно прямой, содержащей основание $AC$.

Найти:

Вид четырехугольника $ABCD$.

Длина меньшей диагонали четырехугольника $ABCD$.

Решение

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AC$. $H$ — середина $AC$.

В прямоугольном треугольнике $BHC$:

$BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

$HC = BC \cdot \cos(\angle BCH) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Длина основания $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Треугольник $ADC$ симметричен треугольнику $ABC$ относительно прямой, содержащей основание $AC$.

Это означает, что вершина $D$ является отражением вершины $B$ относительно прямой $AC$.

Следовательно, $AC$ является осью симметрии четырехугольника $ABCD$.

Диагональ $AC$ является общей для обоих треугольников.

Диагональ $BD$ перпендикулярна $AC$ и делится точкой $H$ пополам, так как $BH$ — высота, а $D$ — отражение $B$ относительно $AC$. Значит, $DH = BH = 2$ см.

Длина диагонали $BD = BH + HD = 2 + 2 = 4$ см.

Поскольку $AC$ является перпендикулярной биссектрисой $BD$, и $BD$ является перпендикулярной биссектрисой $AC$ (так как $H$ — середина $AC$, и $BH \perp AC$), то диагонали четырехугольника $ABCD$ взаимно перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения $H$.

Четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам, является ромбом.

Все стороны ромба равны. $AB = BC = CD = DA = 4$ см (так как $CD=BC$ и $DA=AB$ по симметрии).

Таким образом, получившийся четырехугольник $ABCD$ является ромбом.

Теперь найдем меньшую диагональ.

Длины диагоналей: $AC = 4\sqrt{3}$ см и $BD = 4$ см.

Сравним их значения: $\sqrt{3} \approx 1.732$.

$AC \approx 4 \cdot 1.732 = 6.928$ см.

$BD = 4$ см.

Меньшая диагональ — $BD$.

Ответ: Получившийся четырехугольник — ромб. Его меньшая диагональ равна 4 см.