Номер 131, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

131. Постройте окружность с центром в точке $O$ и радиусом 3 см, ее диаметр $AD$ и хорды $AB = 4$ см, $DC = 3$ см, лежащие по одну сторону от прямой $AD$. При помощи одной линейки постройте прямую, перпендикулярную $AD$ и проходящую через точку пересечения прямых $AB$ и $DC$.

Дано:

Окружность с центром $O$ и радиусом $R = 3$ см.

Диаметр окружности $AD$.

Хорды $AB = 4$ см и $DC = 3$ см, расположенные по одну сторону от прямой $AD$.

Найти:

Построить прямую, перпендикулярную $AD$ и проходящую через точку пересечения прямых $AB$ и $DC$, используя только линейку после построения исходных элементов.

Решение:

Построение окружности и заданных элементов:

1. Отметим произвольную точку $O$ на плоскости — это будет центр окружности. С помощью циркуля построим окружность радиусом $R = 3$ см с центром в точке $O$.

2. Проведем любую прямую через точку $O$. Точки ее пересечения с окружностью обозначим $A$ и $D$. Это будет диаметр $AD$.

3. На окружности отложим хорду $AB = 4$ см. Для этого, установив раствор циркуля равным $4$ см, поместим острие циркуля в точку $A$ и сделаем засечку на окружности. Эту точку обозначим $B$. Проведем отрезок $AB$. Точка $B$ должна быть выбрана так, чтобы она лежала по одну сторону от прямой $AD$.

4. На окружности отложим хорду $DC = 3$ см. Для этого, установив раствор циркуля равным $3$ см (что равно радиусу окружности), поместим острие циркуля в точку $D$ и сделаем засечку на окружности. Эту точку обозначим $C$. Проведем отрезок $DC$. Точка $C$ должна быть выбрана так, чтобы она лежала по ту же сторону от прямой $AD$, что и точка $B$.

Построение перпендикуляра с помощью одной линейки:

Данная часть задачи требует построения перпендикуляра к прямой $AD$ через заданную точку $P$ (пересечение прямых $AB$ и $DC$) с использованием только одной линейки. Это возможно благодаря свойству углов, опирающихся на диаметр, и концепции ортоцентра треугольника.

1. С помощью линейки продлим хорды $AB$ и $DC$ до их пересечения в точке $P$. Это точка, через которую должна проходить искомая перпендикулярная прямая.

2. С помощью линейки проведем прямую, соединяющую точки $A$ и $C$.

3. С помощью линейки проведем прямую, соединяющую точки $D$ и $B$.

4. Обозначим точку пересечения прямых $AC$ и $DB$ как $H'$.

5. Рассмотрим треугольник $\triangle APD$. Поскольку $AD$ является диаметром окружности, то углы, опирающиеся на диаметр и вершины которых лежат на окружности, являются прямыми.

* Угол $\angle ABD = 90^\circ$. Следовательно, прямая $DB$ перпендикулярна прямой $AB$. Поскольку прямая $AB$ является частью прямой $AP$, то $DB \perp AP$. Таким образом, прямая $DB$ является одной из высот треугольника $\triangle APD$, опущенной из вершины $D$ на сторону $AP$ (или ее продолжение).

* Угол $\angle ACD = 90^\circ$. Аналогично, прямая $AC$ перпендикулярна прямой $DC$. Поскольку прямая $DC$ является частью прямой $DP$, то $AC \perp DP$. Таким образом, прямая $AC$ является второй высотой треугольника $\triangle APD$, опущенной из вершины $A$ на сторону $DP$ (или ее продолжение).

6. Точка $H'$ является точкой пересечения двух высот $DB$ и $AC$ треугольника $\triangle APD$. Следовательно, $H'$ является ортоцентром треугольника $\triangle APD$.

7. Прямая, проходящая через вершину треугольника и его ортоцентр, является третьей высотой этого треугольника. В нашем случае, прямая $PH'$ является третьей высотой треугольника $\triangle APD$, опущенной из вершины $P$ на сторону $AD$.

8. С помощью линейки проведем прямую через точки $P$ и $H'$. Эта прямая $PH'$ является искомой прямой, перпендикулярной $AD$ и проходящей через точку $P$.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам, используя свойство ортоцентра треугольника и углов, опирающихся на диаметр окружности.