Номер 128, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

128. a) Сторона $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равна 20 см. Найдите его основание $AB$, если серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ пересекает сторону $AC$ в точке $D$ и периметр треугольника $ABD$ равен 32 см.

б) В равнобедренном $\triangle ABC$ $\angle A = 120^{\circ}$, $BM$ и $CN$ медианы, $O$ – их точка пересечения. Из точки $O$ проведен отрезок $OK \parallel BC$, $K \in AB$. Найдите $AO$, если $BK = 4$ см.

а)

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Основание $AB$. Следовательно, $AC = BC$.

$BC = 20$ см.

Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AC$ в точке $D$.

Периметр треугольника $ABD$ равен $32$ см ($P_{ABD} = 32$ см).

Найти:

$AB$.

Решение:

1. Так как точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$, то она равноудалена от его концов. Следовательно, $DB = DC$.

2. По условию, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, значит, $AC = BC$. Нам дано $BC = 20$ см, следовательно, $AC = 20$ см.

3. Периметр треугольника $ABD$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + BD + AD$.

4. Используя равенство $DB = DC$, подставим $DC$ вместо $BD$ в формулу периметра:

$P_{ABD} = AB + DC + AD$.

5. Заметим, что сумма отрезков $DC$ и $AD$ составляет всю сторону $AC$. То есть, $DC + AD = AC$.

6. Таким образом, выражение для периметра треугольника $ABD$ упрощается до $P_{ABD} = AB + AC$.

7. Подставим известные значения периметра и длины стороны $AC$:

$32 = AB + 20$.

8. Вычислим длину основания $AB$:

$AB = 32 - 20$.

$AB = 12$ см.

Ответ: $12$ см.

б)

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

$\angle A = 120^\circ$.

$BM$ и $CN$ – медианы.

$O$ – точка пересечения медиан ($BM$ и $CN$).

$OK \parallel BC$, $K \in AB$.

$BK = 4$ см.

Найти:

$AO$.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с $\angle A = 120^\circ$, угол $A$ является углом при вершине, так как сумма двух углов по $120^\circ$ превысила бы $180^\circ$. Следовательно, боковые стороны $AB$ и $AC$ равны ($AB = AC$), а $BC$ является основанием. Углы при основании $BC$ равны:

$\angle B = \angle C = (180^\circ - \angle A) / 2 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

2. Точка $O$ является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABC$. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины.

3. Проведем медиану $AP$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $P$ – середина $BC$. Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, медиана $AP$ также является высотой и биссектрисой угла $A$. Значит, $AP \perp BC$ и $\angle BAP = \angle CAP = \angle BAC / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

4. Точка $O$ лежит на медиане $AP$, и $AO:OP = 2:1$, откуда $AO = \frac{2}{3}AP$.

5. Поскольку отрезок $OK \parallel BC$ и проходит через центроид $O$, а $K \in AB$, мы можем использовать свойство подобных треугольников. Линия, проведенная через центроид параллельно одной из сторон треугольника, отсекает на других сторонах отрезки, которые находятся в отношении $2:3$ к соответствующим сторонам. В частности, $\triangle AKO$ не является подобным $\triangle ABC$. Однако, если провести линию $KL$ через $O$ параллельно $BC$ (где $K \in AB, L \in AC$), то $\triangle AKL \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия, равным отношению, в котором центроид делит медиану из вершины $A$ к основанию $BC$. То есть, $AK/AB = AO/AP = 2/3$.

6. Таким образом, $AK = \frac{2}{3}AB$.

7. Нам дано $BK = 4$ см. Мы знаем, что вся сторона $AB$ состоит из отрезков $AK$ и $BK$: $AB = AK + BK$.

8. Подставим выражение для $AK$ в это равенство:

$AB = \frac{2}{3}AB + 4$.

Перенесем слагаемые с $AB$ в одну сторону:

$AB - \frac{2}{3}AB = 4$.

$\frac{1}{3}AB = 4$.

Умножим обе части на $3$:

$AB = 12$ см.

9. Теперь найдем длину медианы $AP$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $APB$ (поскольку $AP \perp BC$). В этом треугольнике $\angle B = 30^\circ$ и гипотенуза $AB = 12$ см.

10. В прямоугольном треугольнике $APB$ синус угла $B$ равен отношению противолежащего катета $AP$ к гипотенузе $AB$:

$\sin(\angle B) = AP/AB$.

$AP = AB \sin(\angle B)$.

$AP = 12 \sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ равно $1/2$:

$AP = 12 \cdot \frac{1}{2}$.

$AP = 6$ см.

11. Наконец, найдем $AO$, используя отношение $AO = \frac{2}{3}AP$:

$AO = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см.

Ответ: $4$ см.