Вопросы, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

2. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

1. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Если $a$ и $b$ - длины катетов прямоугольного треугольника, а $c$ - длина его гипотенузы, то справедливо соотношение $a^2 + b^2 = c^2$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.

Построим квадрат со стороной $a+b$. Внутри этого большого квадрата расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника (конгруэнтных исходному), каждый с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Разместим их таким образом, чтобы они образовали внутренний квадрат со стороной $c$.

Площадь большого квадрата равна $(a+b)^2$.

Площадь каждого из четырех прямоугольных треугольников равна $\frac{1}{2}ab$. Суммарная площадь четырех треугольников равна $4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$.

Площадь внутреннего квадрата, образованного гипотенузами, равна $c^2$.

Площадь большого квадрата также можно представить как сумму площадей четырех треугольников и площади внутреннего квадрата:

$(a+b)^2 = 2ab + c^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

Вычтем $2ab$ из обеих частей уравнения:

$a^2 + b^2 = c^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

2. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

Формулировка: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным.

Если для сторон треугольника $a, b, c$ выполняется соотношение $a^2 + b^2 = c^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, является прямым.

Доказательство:

Пусть дан треугольник со сторонами $a, b, c$, для которого выполняется условие $a^2 + b^2 = c^2$.

Построим вспомогательный прямоугольный треугольник с катетами, равными $a$ и $b$. Обозначим его гипотенузу через $x$.

По теореме Пифагора, примененной к построенному прямоугольному треугольнику, имеем:

$a^2 + b^2 = x^2$

По условию, для исходного треугольника выполняется $a^2 + b^2 = c^2$.

Сравнивая два равенства ($a^2 + b^2 = x^2$ и $a^2 + b^2 = c^2$), получаем $x^2 = c^2$.

Поскольку $x$ и $c$ являются длинами сторон треугольников, они должны быть положительными величинами. Следовательно, из $x^2 = c^2$ следует $x = c$.

Таким образом, исходный треугольник имеет стороны $a, b, c$, а построенный прямоугольный треугольник имеет стороны $a, b, x$. Поскольку мы показали, что $x=c$, то стороны двух треугольников совпадают ($a, b, c$).

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS), исходный треугольник и построенный прямоугольный треугольник конгруэнтны.

Поскольку построенный треугольник является прямоугольным (по построению), то и исходный треугольник также должен быть прямоугольным, и прямой угол в нем лежит напротив стороны $c$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: