Номер 153, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

153. a) Лестница длиной 13 м приставлена к стене так, что нижний ее конец отстоит от стены на 5 м. На какой высоте находится другой конец лестницы?

б) Лестница длиной 5 м упирается одним концом в стену, а второй ее конец отстоит от стены на 3 м. Если второй конец лестницы пододвинуть к стене на 1 м, то станет ли выше на столько же ее первый конец?

a)

Дано:

Длина лестницы (гипотенуза) $L = 13$ м

Расстояние от нижнего конца лестницы до стены (катет) $d = 5$ м

Найти:

Высота, на которой находится другой конец лестницы $h$

Решение

Поскольку стена перпендикулярна земле, лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник. Длина лестницы является гипотенузой, а расстояние от стены до нижнего конца лестницы и высота, на которой находится верхний конец лестницы, являются катетами.

Применяем теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ - гипотенуза, $a$ и $b$ - катеты.

В нашем случае $L^2 = d^2 + h^2$.

Выразим высоту $h$:

$h^2 = L^2 - d^2$

Подставляем значения:

$h^2 = 13^2 - 5^2$

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

Для нахождения $h$ извлечем квадратный корень:

$h = \sqrt{144}$

$h = 12$ м

Ответ:

Высота, на которой находится другой конец лестницы: 12 м.

б)

Дано:

Длина лестницы (гипотенуза) $L = 5$ м

Начальное расстояние от нижнего конца лестницы до стены (катет) $d_1 = 3$ м

Изменение расстояния: лестницу пододвинули к стене на $1$ м

Найти:

Станет ли выше на столько же ее первый конец, то есть сравнить изменение высоты $h_2 - h_1$ с $1$ м.

Решение

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Начальное положение лестницы.

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник. Длина лестницы является гипотенузой $L$, расстояние от стены до нижнего конца лестницы является одним катетом $d_1$, а высота, на которой находится верхний конец лестницы, является другим катетом $h_1$.

Применяем теорему Пифагора: $L^2 = d_1^2 + h_1^2$.

Выразим высоту $h_1$:

$h_1^2 = L^2 - d_1^2$

Подставляем значения:

$h_1^2 = 5^2 - 3^2$

$h_1^2 = 25 - 9$

$h_1^2 = 16$

Для нахождения $h_1$ извлечем квадратный корень:

$h_1 = \sqrt{16}$

$h_1 = 4$ м

Случай 2: Лестницу пододвинули к стене.

Новое расстояние от нижнего конца лестницы до стены $d_2 = d_1 - 1$ м.

$d_2 = 3 - 1 = 2$ м

Пусть новая высота, на которой находится верхний конец лестницы, будет $h_2$.

Применяем теорему Пифагора: $L^2 = d_2^2 + h_2^2$.

Выразим высоту $h_2$:

$h_2^2 = L^2 - d_2^2$

Подставляем значения:

$h_2^2 = 5^2 - 2^2$

$h_2^2 = 25 - 4$

$h_2^2 = 21$

Для нахождения $h_2$ извлечем квадратный корень:

$h_2 = \sqrt{21}$ м

Приблизительное значение $\sqrt{21} \approx 4.582576$ м.

Сравнение изменений высоты.

Изменение высоты $\Delta h = h_2 - h_1$.

$\Delta h = \sqrt{21} - 4$ м

Численно:

$\Delta h \approx 4.582576 - 4$

$\Delta h \approx 0.582576$ м

Лестницу пододвинули к стене на $1$ м. Спрашивается, станет ли выше на столько же ее первый конец.

Так как $\Delta h \approx 0.58$ м, а пододвинули на $1$ м, то высота не увеличилась на столько же.

Ответ:

Нет, ее первый конец не станет выше на столько же. Высота увеличится примерно на 0.58 м ($\sqrt{21} - 4$ м), что меньше, чем 1 м.