Номер 156, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

156. В четырехугольнике $ABCD$ $BC = 15$ см, $CD = 9$ см, $AD = 13$ см, $BD = 12$ см, $\angle CDB = \angle ABD$. Найдите сторону $AB$.

Дано:

$BC = 15$ см

$CD = 9$ см

$AD = 13$ см

$BD = 12$ см

$\angle CDB = \angle ABD$

Перевод в СИ:

$BC = 0.15$ м

$CD = 0.09$ м

$AD = 0.13$ м

$BD = 0.12$ м

Найти:

$AB$

Решение:

Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Известны все его стороны: $BC = 15$ см, $CD = 9$ см, $BD = 12$ см.

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора. Если $CD^2 + BD^2 = BC^2$, то угол $\angle CDB$ равен $90^\circ$.

Вычислим сумму квадратов катетов: $CD^2 + BD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.

Вычислим квадрат гипотенузы: $BC^2 = 15^2 = 225$.

Так как $CD^2 + BD^2 = BC^2$, то треугольник $\triangle BCD$ является прямоугольным, и угол $\angle CDB$ равен $90^\circ$.

По условию задачи, $\angle CDB = \angle ABD$. Следовательно, $\angle ABD = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Мы знаем, что он является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Известны длины сторон $AD = 13$ см (гипотенуза) и $BD = 12$ см (катет).

Используем теорему Пифагора для треугольника $\triangle ABD$:

$AD^2 = AB^2 + BD^2$

Подставим известные значения:

$13^2 = AB^2 + 12^2$

$169 = AB^2 + 144$

Выразим $AB^2$:

$AB^2 = 169 - 144$

$AB^2 = 25$

Найдем $AB$:

$AB = \sqrt{25}$

$AB = 5 \text{ см}$

Ответ:

Сторона $AB$ равна $5$ см.