Номер 160, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

160. a) Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 9 см и 4 см. Разрежьте его на три таких прямоугольника, чтобы из них можно было составить квадрат.

б) Докажите, что в прямоугольном треугольнике утроенная гипотенуза больше удвоенной суммы катетов. $3c > 2(a + b)$

а) Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 9 см и 4 см. Разрежьте его на три таких прямоугольника, чтобы из них можно было составить квадрат.

Дано:

Прямоугольник со сторонами $l = 9 \text{ см}$ и $w = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ не требуется, так как задача является геометрической на разрезание, и все размеры даны в сантиметрах, что удобно для решения.

Найти:

Способ разрезания прямоугольника на три части, чтобы из них можно было составить квадрат.

Решение:

1. Найдем площадь исходного прямоугольника:

$S = l \times w = 9 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

2. Если из этого прямоугольника нужно составить квадрат, то его площадь должна остаться прежней, то есть $36 \text{ см}^2$. Сторона такого квадрата будет равна корню квадратному из его площади:

$a = \sqrt{S} = \sqrt{36 \text{ см}^2} = 6 \text{ см}$.

Значит, нам нужно из прямоугольника 9 см x 4 см составить квадрат 6 см x 6 см.

3. Для этого можно выполнить следующие разрезы:

• Отступите от одного из концов длинной стороны (9 см) на 6 см и сделайте разрез перпендикулярно этой стороне на всю ширину (4 см). Этот разрез разделит исходный прямоугольник на две части: один прямоугольник размером 6 см x 4 см и второй прямоугольник размером 3 см x 4 см.

• Возьмите прямоугольник размером 3 см x 4 см. Разрежьте его вдоль длинной стороны (4 см) пополам, то есть на расстоянии 2 см от одной из сторон (3 см). Это даст два прямоугольника размером 3 см x 2 см каждый.

Таким образом, мы получим три прямоугольника:

• Один прямоугольник 6 см x 4 см.

• Два прямоугольника 3 см x 2 см.

4. Для составления квадрата со стороной 6 см из этих трех частей:

• Положите прямоугольник 6 см x 4 см.

• Два прямоугольника 3 см x 2 см положите рядом друг с другом так, чтобы их стороны длиной 3 см соприкасались. Это образует один прямоугольник размером $ (3+3) \text{ см} \times 2 \text{ см} = 6 \text{ см} \times 2 \text{ см}$.

• Приложите получившийся прямоугольник 6 см x 2 см к стороне длиной 6 см прямоугольника 6 см x 4 см. В результате вы получите квадрат со стороной $6 \text{ см} \times (4+2) \text{ см} = 6 \text{ см} \times 6 \text{ см}$.

Ответ:

Исходный прямоугольник 9 см x 4 см следует разрезать на три части: один прямоугольник 6 см x 4 см и два прямоугольника 3 см x 2 см. Эти три части могут быть соединены для формирования квадрата 6 см x 6 см.

б) Докажите, что в прямоугольном треугольнике утроенная гипотенуза больше удвоенной суммы катетов.

Дано:

Прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$.

Перевод в СИ не требуется, так как задача является доказательством математического неравенства, а не расчетом физических величин.

Найти:

Доказать, что $3c > 2(a+b)$.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По теореме Пифагора имеем:

$a^2 + b^2 = c^2$

Нам необходимо доказать неравенство:

$3c > 2(a+b)$

Поскольку $a$, $b$, $c$ — это длины сторон треугольника, они являются положительными величинами. Следовательно, обе части неравенства $3c$ и $2(a+b)$ положительны. Мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(3c)^2 > (2(a+b))^2$

$9c^2 > 4(a+b)^2$

Теперь подставим $c^2 = a^2+b^2$ согласно теореме Пифагора и раскроем скобки в правой части:

$9(a^2+b^2) > 4(a^2+2ab+b^2)$

$9a^2+9b^2 > 4a^2+8ab+4b^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$9a^2+9b^2 - 4a^2 - 8ab - 4b^2 > 0$

$5a^2 - 8ab + 5b^2 > 0$

Преобразуем левую часть этого неравенства, выделив полный квадрат:

$5a^2 - 8ab + 5b^2 = (4a^2 - 8ab + 4b^2) + (a^2 + b^2)$

$= 4(a^2 - 2ab + b^2) + a^2 + b^2$

$= 4(a-b)^2 + a^2 + b^2$

Поскольку $(a-b)^2 \ge 0$ (квадрат любого действительного числа неотрицателен), и $a^2 > 0$, $b^2 > 0$ (так как $a$ и $b$ - длины катетов, они являются положительными числами), то сумма $4(a-b)^2 + a^2 + b^2$ всегда строго больше нуля.

Таким образом, мы доказали, что $5a^2 - 8ab + 5b^2 > 0$. Поскольку все преобразования были равносильными (в том числе возведение в квадрат положительных чисел), исходное неравенство $3c > 2(a+b)$ также верно.

Ответ:

Доказано, что $3c > 2(a+b)$ путем преобразования исходного неравенства в тождественно верное неравенство $4(a-b)^2 + a^2 + b^2 > 0$, что выполняется для любых положительных значений катетов $a$ и $b$.