Вопросы, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется синусом, тангенсом, котангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

2. Докажите, что $ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} $, где $\alpha$ – острый угол.

1. Что называется синусом, тангенсом, котангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Например, для угла $\alpha$: $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Например, для угла $\alpha$: $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету. Например, для угла $\alpha$: $\cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$

Ответ:

2. Докажите, что ctg $\alpha = \frac{1}{tg \alpha}$, где $\alpha$ - острый угол.

Решение

Пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$. Обозначим противолежащий катет по отношению к углу $\alpha$ как $a$, прилежащий катет как $b$, и гипотенузу как $c$.

По определению тангенса острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике:

$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

По определению котангенса острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике:

$\cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a}$

Теперь рассмотрим выражение $\frac{1}{\tan \alpha}$:

$\frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{a}{b}}$

При делении на дробь, мы умножаем на обратную ей дробь:

$\frac{1}{\frac{a}{b}} = 1 \cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{a}$

Таким образом, мы получили, что $\frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}$.

Сравнивая это с определением котангенса, $\cot \alpha = \frac{b}{a}$, видим, что:

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.