Номер 159, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

159. a) К окружности радиуса 10 см проведена касательная и на ней отмечена точка $A$, расстояние от которой до ближайшей к ней точки окружности равно 16 см. Найдите расстояние от точки $A$ до точки касания.

б) Найдите (с точностью до 0,1 см) радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и основанием 4 см.

в) Найдите расстояние между точками пересечения двух окружностей, радиусы которых равны 17 см и 10 см, а расстояние между их центрами 21 см.

a)

Дано:

радиус окружности $R = 10$ см;

расстояние от точки $A$ до ближайшей к ней точки окружности $AP = 16$ см.

Перевод в СИ:

$R = 0.1$ м;

$AP = 0.16$ м.

Найти:

расстояние от точки $A$ до точки касания $AT$.

Решение:

Пусть $O$ - центр окружности, $T$ - точка касания, $P$ - ближайшая к $A$ точка окружности.

По определению, радиус $OT$ перпендикулярен касательной $AT$ в точке касания $T$. Следовательно, треугольник $OTA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

Ближайшая точка $P$ на окружности к точке $A$ лежит на отрезке $OA$, соединяющем точку $A$ с центром окружности $O$. Расстояние $AP$ равно разности между расстоянием $OA$ от точки $A$ до центра и радиусом $R$:

$AP = OA - R$

$16 = OA - 10$

$OA = 16 + 10 = 26$ см.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $OTA$:

$OA^2 = OT^2 + AT^2$

$OA^2 = R^2 + AT^2$

$26^2 = 10^2 + AT^2$

$676 = 100 + AT^2$

$AT^2 = 676 - 100$

$AT^2 = 576$

$AT = \sqrt{576}$

$AT = 24$ см.

Ответ: 24 см

б)

Дано:

равнобедренный треугольник;

боковая сторона $a = 6$ см;

основание $c = 4$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0.06$ м;

$c = 0.04$ м.

Найти:

радиус описанной окружности $R_{circ}$ (с точностью до 0,1 см).

Решение:

Радиус описанной окружности для треугольника вычисляется по формуле:

$R_{circ} = \frac{abc}{4K}$

где $a, b, c$ - длины сторон треугольника, $K$ - его площадь. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны, так что $a=b=6$ см, $c=4$ см.

Найдем высоту $h$ равнобедренного треугольника, опущенную на основание. Высота делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника. Один из катетов равен половине основания ($c/2 = 4/2 = 2$ см), гипотенуза равна боковой стороне ($a=6$ см).

По теореме Пифагора:

$h^2 + (c/2)^2 = a^2$

$h^2 + 2^2 = 6^2$

$h^2 + 4 = 36$

$h^2 = 32$

$h = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $K$:

$K = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

$K = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см$^2$.

Теперь подставим значения в формулу для $R_{circ}$:

$R_{circ} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 4}{4 \cdot 8\sqrt{2}} = \frac{144}{32\sqrt{2}}$

Сократим дробь:

$R_{circ} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R_{circ} = \frac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

Вычислим приблизительное значение:

$R_{circ} \approx \frac{9 \cdot 1.41421356}{4} \approx \frac{12.72792204}{4} \approx 3.18198051$ см.

Округлим до 0,1 см:

$R_{circ} \approx 3.2$ см.

Ответ: 3.2 см

в)

Дано:

радиус первой окружности $R_1 = 17$ см;

радиус второй окружности $R_2 = 10$ см;

расстояние между центрами $d = 21$ см.

Перевод в СИ:

$R_1 = 0.17$ м;

$R_2 = 0.10$ м;

$d = 0.21$ м.

Найти:

расстояние между точками пересечения.

Решение:

Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры двух окружностей, а $A$ и $B$ - точки их пересечения.

Линия, соединяющая центры окружностей ($O_1O_2$), перпендикулярна общей хорде ($AB$) и делит ее пополам. Пусть $M$ - точка пересечения $O_1O_2$ и $AB$. Тогда $AM = MB$, и нам нужно найти $AB = 2 \cdot AM$.

Рассмотрим треугольник $O_1AO_2$. Его стороны - $R_1 = 17$ см, $R_2 = 10$ см и $d = 21$ см.

Высота $AM$ в треугольнике $O_1AO_2$ (опущенная из вершины $A$ на сторону $O_1O_2$) является половиной искомого расстояния. $AM$ также является катетом в двух прямоугольных треугольниках: $O_1MA$ и $O_2MA$.

Пусть $O_1M = x$. Тогда $O_2M = d - x = 21 - x$.

В прямоугольном треугольнике $O_1MA$ (с прямым углом в $M$):

$R_1^2 = x^2 + AM^2$

$17^2 = x^2 + AM^2$

$289 = x^2 + AM^2 \quad (1)$

В прямоугольном треугольнике $O_2MA$ (с прямым углом в $M$):

$R_2^2 = (d-x)^2 + AM^2$

$10^2 = (21-x)^2 + AM^2$

$100 = (21-x)^2 + AM^2 \quad (2)$

Из уравнения (1) выразим $AM^2$: $AM^2 = 289 - x^2$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$100 = (21-x)^2 + (289 - x^2)$

$100 = 21^2 - 2 \cdot 21 \cdot x + x^2 + 289 - x^2$

$100 = 441 - 42x + x^2 + 289 - x^2$

$100 = 730 - 42x$

$42x = 730 - 100$

$42x = 630$

$x = \frac{630}{42} = 15$ см.

Теперь найдем $AM$ из уравнения (1):

$AM^2 = 289 - x^2 = 289 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

$AM = \sqrt{64} = 8$ см.

Расстояние между точками пересечения $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ: 16 см